Составители:
Рубрика:
253
или в дифференциальной форме
∂ρ
∂t
+ div(ρv) = 0. (11.4)
Это — уравнение непрерывности. Вектор j = ρv называют плотностью
потока жидкости.
В уравнениях (11.2) и (11.3) пят ь неизвестных: плотность, три соста-
вляющие скорости и давление, т. е. одного уравнения не хватает. Таким
уравнением является уравнение термодинамического состояния.
Будем считать, что теплообмен между отдельными элементами жид-
кости отсутствует (жидкость течет с такой скоростью, что отдельные ее
участки не успевают обмениваться теплом друг с другом) и что она не
обменивается теплом с окружающими телами, с которыми соприкасает-
ся. Таков допущение означает, что движение происходит адиабатически
в каждом элементе жидкости, т. е. энтропия S, отнесенная к единице
массы жидкости, остается постоянной при перемещении этого элемента
в пространстве. Таким образом
dS
dt
=
∂S
∂t
+ v∇S = 0 . (11.5)
Умножим (11.4) на S, (11.5) на ρ и, сложив полученные соотношения,
получим S∂ρ/∂t + ρ∂S/∂t + S div ρv + ρv∇S = 0. Используя в последнем
соотношении формулу div (af ) = a div f + f ∇a, приходим к уравнению
непрерывности для энтропии
∂(ρS)
∂t
+ div(ρSv) = 0 , (11.6)
где (ρSv) — плотность потока энтропии. Если в начальный момент вре-
мени распределение энтропии жидкости пространственно однородно, то
S = const (11.7)
в любой момент времени. Такой адиабатический процесс, происходящий
при постоянной энтропии, называется изэнтропийным. В этом случае
уравнение состояния есть просто функциональная зависимость между
плотностью и давлением: p = p(ρ) (или ρ = ρ(p)), откуда
dp
dt
=
dp
dρ
S
dρ
dt
. (11.8)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 251
- 252
- 253
- 254
- 255
- …
- следующая ›
- последняя »
