Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 286 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

286
Дифференцируя третье уравнение из (11.89) по y и используя второе
уравнение, будем иметь
∂V
y
∂y
2
+ ω
2
εV
y
= −
∂
2
V
x
∂x∂y
+ iqω
2
εV
x
. (11.92)
Выражение для ∂
2
V
x
/∂x∂y легко найти, взяв производную по y от (11.91).
Подставив получившееся соотношение для ∂
2
V
x
/∂x∂y в (11.92) и исполь-
зуя первое уравнение из (11.89), удае тся исключить из системы (11.89)-
(11.90) V
x
и V
y
.
Уравнение для V
y
имеет вид
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
− i
β
ω
∂
∂x
+ ω
2
ε(1 − q
2
)
V
y
= 0 . (11.93)
Предположим, что ω Ω и q
2
1, т. е. 1 − q
2
≈ −q
2
. Если решение
уравнения (11.93 имеет вид плоских волн V
y
= V
y0
exp[−i(k
x
x + k
y
y)], то
дисперсионное уравнение получается таким:
[k
x
+ β/(2ω)]
2
+ k
2
y
= [β/(2ω)]
2
− 4εΩ
2
sin
2
ϕ
0
. (11.94)
Параметр разделения ε находится как собственное значение системы
уравнений (11.90 с граничными условиями (11.30) и (11.31; эти уравнения
и условия легко переписать в виде
∂V(z)
∂z
2
− εω
2
1 −
N
2
ω
2
V(z) = 0 , (11.95)
V(z)|
z=−H
=
gV(z) −
1
ε
∂V(z)
∂z
z=0
= 0 . (11.96)
Если положить ε = ξ
2
/ω
2
, то (11.95) совпадает с уравнением (11.74) для
внутренних волн, а (11.96) — с граничным условием (11.43). Из соответ-
ствующих соотношений для волноводных волн (из второго из соотноше-
ний (11.77) и (11.80), а также (11.81)) имеем для моды n = 0, которая
называется “баротропной”:
ε
0
= 1/(gH) , (11.97)
для мод более высоких порядков n, называемых “ бароклинными”,
ε
n
=
n
2
π
2
H
2
1
N
2
− ω
2
, n = 0, ±1, ±2, . . . . (11.98)

Страницы