Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 330 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

330
мы устойчиво, если x → 0 при t → ∞. Будем искать решение (14.1) в
виде x ∼ exp(pt) (p — комплексный параметр). Подставляя его в (14.1),
получаем характеристическое уравнение
∆(p) = a
0
p
n
+ a
1
p
n−1
+ . . . + a
n−1
p + a
n
= 0 , (14.2)
корни которого определяют характер решения.
Уравнение (14.2) имеет n корней p
m
= Re p
m
+ i Im p
m
. Задача об
устойчивости сводится, таким образом, к оценке расположения корней на
комплексной плоскости p. Если все корни расположены в левой полуплос-
кости (слева о т мнимой оси), то с ростом t отк лонение x будет умень-
шаться как exp(−Re p
m
t), и, следовательно, состояние равновесия экс-
поненциально устойчиво. Если имеется хоть один корень в правой полу-
плоскости, то равновесие неустойчиво. Важно, что оценку расположения
корней можно сделать, не решая уравнения (14.2). Связь месторасполо-
жения корней с коэффициентами уравнения — это чисто алгебраическая
проблема, и известно довольно много способов оценки действительной
части корней характеристического уравнения по коэффициентам полино-
ма [2, 3]. Наиболее распространенными и удобными среди них являются
критерий Рауса — Гурвица и метод D-разбиений.
Критерий устойчивости Рауса — Гурвица заключается в следующем.
Для того чтобы все корни уравнения (14.2) имели отрицательные дей-
ствительные части Re p
m
< 0, т.е. все корни м ногочлена ∆(p) лежали
слева от мнимой оси), необходима и достаточна положительность всех
главных диагональных миноров матрицы Гурвица
D
n
=
a
1
a
0
0 0 . . . 0
a
3
a
2
a
1
a
0
. . . 0
a
5
a
4
a
3
a
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 0
(14.3)
Структура матрицы Гурвица такова: по главной диагонали располо-
жены коэффициенты (от a
1
до a
n
) уравнения (14.2); столбцы содержат
поочередно коэффициенты только с нечетными или только с четными ин-
дексами (включая a
0
); все недостающие элементы (коэффициенты с ин-
дексами, меньшими нуля или большими n) заменяются нулями. Главные

Страницы