Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 331 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

331
диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид
∆
1
= a
1
, ∆
2
=
a
1
a
0
a
3
a
3
, ∆
3
=
a
1
a
0
0
a
3
a
2
a
1
a
5
a
4
a
3
, . . .
. . . , ∆
n
=
a
1
a
0
0 0 . . . 0
a
3
a
2
a
1
a
0
. . . 0
a
5
a
4
a
3
a
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 0
.
Следовательно, критерий устойчивости Рауса — Гурвица сводится к сле-
дующему требованию:
∆
1
> 0 , ∆
2
> 0 , . . . , ∆
n
> 0 . (14.4)
Применим этот критерий к исследованию корней характеристическо-
го уравнения линейного осциллятора p
2
+ 2γp + ω
2
0
= 0. Условия (14.4)
сводятся к условию положительности коэффициентов γ > 0 и ω
2
0
> 0.
Для характеристического уравнения третьего порядка
p
2
+ ap
2
+ bp + c = 0 (14.5)
одной положительности ко эффициентов для устойчивости равновесия уже
недостаточно. Действительно, записав определитель Гурвица, найдем глав-
ные миноры: ∆
1
= a, ∆
2
= ab − c, ∆
3
= c(ab − c). Все миноры будут
положительными, если ab > c. При невыполнении одного из указанных
условий (положительность коэффициентов, или ab > c) состояние равно-
весия неустойчиво. Характер возникающей неустойчивости суще ственно
зависит от параметров (см., например, таблицу 6.1 из книги [4]).
Число “устойчивых” (“неустойчивых”) корней опреде ляет размерность
так называемого устойчивого W
s
(неустойчивого W
u
) многообразия, на
котором вблизи состояния равновесия расположены приближающиеся к
нему (уходящие от него) траектории. Когда эти многообразия двумерны,
мы видим на них привычные нам устойчивые (неустойчивые) узлы или
фокусы. Будут ли на этих многообразиях узлы или фокусы, зависит от
знака дискриминанта
∆(a, b, c) = −a
2
b
2
+ 4b
3
+ 4a
3
c − 18abc + 27c
3
.
При ∆ < 0 будут узлы; при ∆ > 0 — фокусы.

Страницы