Составители:
Рубрика:
333
Im
l
l
Re
l
D(
)
=1l
D(
)
=1
l
D( )
=0
w
w
Рис. 14.1. Разбиение плоскости параметров λ на области с
разным порядком неустойчивости для уравнения p
2
+ p +
+ λ = 0
т.е. функция должна быть голоморфной.
Рассмотрим простейший пример: p
2
+ p + λ = 0. Разрешая это уравне-
ние относительно λ, найдем λ = −p
2
− p, откуда при p = iω находим
λ = ω
2
− iω. Следовательно, Re λ = ω
2
, a Im λ = −ω. Таким обра-
зом, Re λ = (Im λ)
2
. Граница области неустойчивости — это парабола
(рис. 14.1). Внутри нее — область устойчивости. Вне — порядок неустой-
чивости D(λ) = 1.
Метод D-разбиений можно использовать и в случае, когда число кор-
ней характеристического уравнения счетно. Именно таким, как мы видели
в гл. 10, оказывае тся спектр резонатора без излучения на границах. Если
резонатор одномерный, т о спектр волновых чисел всегда эквидистантный:
k = πn/l (n = 1, 2, . . . ) для резонатора с идеальным отражением на кон-
цах и k = 2πn/l для кольцевого резонатора. Поскольку в дисперсионном
уравнении D(ω, k) = 0 k — теперь фактически номер моды k ∼ n, то из
этого уравнения, перебирая n, нетрудно определить границу устойчиво-
сти распределенной системы с дискретным спектром.
Приведем простой пример. Будем считать, что резонат ор кольцевой и
рассмотрим его устойчивость только по отношению к волновым возмуще-
ниям, распространяющимся вправо. Если в среде нет дисперсии и потерь,
то из волнового уравнения u
t
+ v
0
u
x
= 0 сразу получаем значения частот
ω
n
= 2πnv
0
/l. Все частоты действительны, так как все счетное множе-
ство корней характеристического уравнения D(p, n) = 0 лежит на мнимой
оси плоскости p = iω. Таким образом, система устойчива. Если в той же
среде учесть высокочастотные потери, например вязкость, то уравнение
бегущей волны примет вид u
t
+v
0
u
x
−νu
xx
= 0, а решения характеристи-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- …
- следующая ›
- последняя »
