Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 334 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

334
ческого уравнения запишутся в виде ω
n
= (2π/l)(v
0
+ iνn2π/l)n. Теперь
все корни лежат в верхней полуплоскости ω плоскости со (или в левой
полуплоскости плоскости p), т.е. устойчивость лишь усилилась и стала
экспоненциальной.
Введем в среду отрицательную диссипацию, проявляющуюся неза-
висимо от масштабов возмущения. Для определенности будем считать,
что такая неравновесная среда моделируется цепочкой, изображенной на
рис. 14.2,а. Уравнение бегущей волны в такой среде запишем в виде
∂u
∂t
+ v
0
∂u
∂x
− ν
∂
2
u
∂x
2
− γu = 0 . (14.6)
Отыскивая решения u(x, t) = v exp[i(ωt−kx)] для кольцевого резонатора,
получаем характеристическое уравнение:
ω
n
=
2πnv
0
l
+ iν
"
2πn
l
2
−
γ
ν
#
.
На рис. 14.2,б приведено разбиение плоскости параметров γ/ν, l на обла-
сти с различным порядком неустойчивости. В коротком резонаторе l <
l
кр
= 2π/
p
γ/ν возможна лишь статическая неустойчивость, так как в
правой полуплоскости плоскости p расположен только один корень — с
Im p = 0 (т.е. Re ω = 0), соответствующий экспоненциальному росту про-
странственно однородного поля. При увеличении l > l
кр
порядок неустой-
чивости растет, однако при любом конечном l число корней в правой
полуплоскости p всегда конечно.
Итак, когда речь идет об исследовании устойчивости ограниченных
распределенных систем (резонаторов), задача по сравнению с соответ-
ствующей сосредоточенной усложняется лишь тем, что спектр комплекс-
ных собственных частот оказывается счетным. При этом, перебирая все
возможные пространственные возмущения, т. е. все допустимые гранич-
ными условия м и значения волновых чисел k
n
, мы, определив корни ха-
рактеристического уравнения D(ω, k), полностью решаем задачу об устой-
чивости. Здесь, конечно, могут встретиться трудности, но трудности тех-
ническ ие.
Если же система полуограничена или безгранична, то сама постанов-
ка задачи об устойчивости, вообще говоря, не очевидна и требует допол-
нительных размышлений. Действительно, теперь, рассматривая устойчи-
вость возмущений в интересующей нас о бласти пространства, мы должны
решить задач у об эволюции пространственно-локализованного возмуще-

Страницы