Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 363 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

363
пренебрегают. В предположении, что под действием начального возмуще-
ния возникающие переменные величины изменяются по закону exp[i(ωt−
− kz)], где ω — действительная величина, линеаризованные уравнения
движения имеют вид
(ω − kv
0
)v
0
z
= kp
0
/ρ
0
, (14.69)
(ω − kv
0
)v
0
r
= −(i/ρ
0
)∂p
0
/∂r , (14.70)
где v
0
— постоянная скорость жидкости в z-направлении. Из условия
несжимаемости жидкости d iv v
0
= 0 и уравнений (14.69) и (14.70) полу-
чается дифференциальное уравнение для p
0
, которое имеет решение
p
0
= AI
0
(kr)e
i(ωt−kx)
, (14.71)
где A — постоянная, I
0
(kr) — модифицированная функция Бесселя пер-
вого рода нулевого порядка. Под действием возмущений граница жид-
кости искривляется, что, как показано в [29], приводит к следующему
выражению для переменного давления на границе:
P
0
= σ(k
2
− r
−2
)r
0
=
[σ/(ρ
0
r
2
)](k
2
r
2
− 1)
(ω − kv
0
)
2
∂p
0
∂r
, (14.72)
где σ — поверхностное натяжение,v
0
r
= i(ω − kv
0
)r
0
. Используя (14.71) и
(14.72), приходим к дисперсионному уравнению
(ω − kv
0
)
2
=
σ
ρ
0
r
2
(k
2
r
2
− 1)k
I
1
(kr)
I
0
(kr)
. (14.73)
Если считать, что k = ω/v
0
+ δ (|δ| ω/v
0
), и в правой части (14.73)
заменить k на ω/v
0
, то
k =
ω
v
0
± i
σ
ρ
0
r
3
v
2
0
1/2
1
20 lg e
F
ωr
v
0
(14.74)
Вид функции F (ωr/v
0
) показан на рис.14.15. Для нарастающей волны
максимальный коэффициент усиления (в децибелах на единицу длины)
G
max
=
r
σ
ρ
0
r
3
v
2
0
F
ωr
v
0
. (14.75)
Следуя [29], оценим величину G
max
, полагая, что диаметр потока равен
0,1 см, а частота, соответствующая условию ωr/v
0
= 1 (рис. 14.15), равна
5000 Гц. Из этих данных находим, что скорость потока должна быть равна

Страницы