Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 361 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

361
Очевидно, что давление p
0
2
в области по другую сторону границы раз-
рыва, для которой y < 0, выразится соотношением, аналогичным (14.65),
но с противоположным знаком:
p
0
2
= (ω + kv
02
)
2
ρ
02
y
0
2
/k . (14.66)
В (14.66) учтено, что v
02
< 0. Давления на границе раздела должны быть
равны; поэтому дисперсионное уравнение задачи имеет следующий вид:
(ω − kv
01
)
2
= −(ρ
02
/ρ
01
)(ω + kv
02
)
2
, (14.67)
ω
1,2
=
k
ρ
01
+ ρ
02
[(ρ
01
v
01
− ρ
02
v
02
) ±i(v
01
+ v
02
)
√
ρ
01
ρ
02
] . (14.68)
Из (14.68) следует, что частота оказывается комплексной величиной, при-
чем всегда есть корень дисперсионного уравнения, для которого выполня-
ется условие Im ω < 0 при действительных k. Это и есть неустойчивость
Гельмгольца, т. е. абсолютная неустойчивость. Механизм неустойчивости
объяснить довольно просто, исходя из закона Бернулли v
2
+2p/ρ = const.
Если на границе раздела возникло возмущение, скажем жидкость сни-
зу границы приподнялась, то линии тока исказятся. В местах сгущения
линий тока возникают поперечные градиенты давления, приводящие к
усилению возмущений (см. рис. 14.14,б и формулы (14.65), (14.66)). Ин-
тересно, что Рэлей приводил этот механизм как объяснение полоскания
парусов и флагов под действием ветра; однако в действительности в этом
явлении проявляется механизм, связанный с возникновением и отрывом
вихрей.
§ 5. Усиление и непропускание. Критерий разделения. Еще примеры
неустойчивостей (Акустический усилитель Ч. Белла; неустой-
чивость полых и ленточных электронных потоков).
С физической точки зрения каже тся очевидным, что систему, в кот о-
рой ре ализуе тся конвективная неустойчивость, можно использовать для
усиления сигналов. Таким образом, если дисперсионное уравнение D(ω, k) =
= 0 при действительном ω имеет комплексные решения для k и асимпто-
ты дисперсионных кривых имеют наклоны одного знака (см. рис.14.8,б
и 14.8,в), то в системе есть усиление. На языке характеристик это озна-
чает, что область распространения лежат по ту сторону от границы x = 0,
на которую подается сигнал. Обратный случай — когда асимптоты имеют
наклоны разных знаков — соответствует непропусканию.

Страницы