Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 407 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

407
в физике плазмы, в теории распространения радиоволн через атмосферу
Земли, солнечную корону и космическое пространство, а также в радио-
локации, радионавигации и дистанционной диагностике. Круг приложе-
ний метода на самом деле еще шире, если учесть наличие “двойников”
геометрической оптики в а к устике (геометрическая акустика), в сейсмо-
логии (геометрическая сейсмика) в квантовой механике (метод ВКБ или
квазиклассическое приближение), в гидродинамике и др.”
Мы кратко остановимся на основах метода геометрической оптики в
наиболее простом случае, когда рассматривается распространение волны
с заданной частотой в неоднородной среде, для которой можно пренебречь
пространственной дисперсией.
Рассмотрим, например, акустические волны, описываемые в линейном
случае волновым уравнением (11.10) для потенциала скоростей ϕ(r, t), ко-
торое остается справедливым и для случая неоднородной среды, только
теперь скорость звука c(r) является функцией пространственных коор-
динат. Если частота волны задана, то, подставляя в (11.10) потенциал в
виде ϕ(r, t) = Re[u(r)e
iωt
], получим уравнение Гельмгольца
∆u(r) + k
2
n
2
(r)u(r) = 0 , (17.1)
где k = ω/c
0
, n(r) = c
0
/c(r), c
0
— некоторая характерная для данной
среды скорость. Величина n(r) аналогична показател ю преломления для
электромагнитных волн в диэлектрике, поэтому так и будем называть ее
в дальнейшем.
В качестве второго примера рассмотрим нерелятивистское стационар-
ное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенци-
альном поле U(r) [2]:
∆Ψ +
2m
~
2
[E −U(r)] Ψ = 0 , (17.2)
где m — масса частицы, ~ — постоянная Планка, E — энергия частицы.
Положив k
2
= 2mE/~
2
и n
2
(r) = 1−U (r)/E, снова приходим к уравнению
(17.1).
Распространение электромагнитных волн в среде с диэлектрической
проницаемостью ε(r) описывается уравнениями Максвелла, которые для
процессов с заданной частотой ω и в отсутствие источников имеют вид [3]
rot E = ikH , (17.3a)
rot H = −ikεE , (17.3b)
div εE = 0 , (17.3c)
div H = 0 , (17.3d)

Страницы