Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 408 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

408
где k = ω/c, c — скорость света в вакууме. Выразим H из уравнения
(17.3a), подставим в (17.3b), и используем векторно е тождество rot rot E =
= grad div E −
~
∇
2
E. В результате этих преобразований получаем уравне-
ние
~
∇
2
E + k
2
εE = grad div E .
Представим div E в виде
div E = div(
1
ε
εE) = εE · grad
1
ε
+
1
ε
div εE = −E · grad ln ε .
Вводя показат ель преломления n
2
(r) = ε(r), приходим к уравнению
~
∇
2
E + k
2
n
2
E = −grad
E · grad(ln n
2
)
. (17.4)
Если L — характерный масштаб изменения показателя преломления, а
поле E имеет вид квазиплоской волны с волновым числом nk, то порядок
слагаемого в правой части (17.4) оценивается как k|E|/L, и оно в kL 1
раз меньше, чем каждое из слагаемых слева. Кроме того, в декартовой
системе координат векторный оператор
~
∇
2
совпадает со скалярным опера-
тором ∇
2
, поэтому, пренебрегая членом в правой части уравнения (17.4),
можно записать
∇
2
E + k
2
n
2
E = 0 . (17.5)
Здесь E — любая из декартовых компонент вектора электрического по-
ля. Мы приходим к выводу, что в условиях плавно неоднородной среды
и высоких частот распространение электромагнитных волн можно опи-
сывать ск алярным уравнением точно такого же вида, что и уравнение
акустики (17.1). В таком приближении связь между компонентами поля
отсутствует, следовательно при этом не учитываются поляризационные
эффекты
1
.
Приближение геометрической оптики, или коротковолновая асимпто-
тика для уравнения (17.1) справедл иво, если выполняется условие kL
1. Физически это значит, что свойства среды мало меняются на рассто-
яниях порядка длины волны, так что можно считать, что в небольшой
окрестно сти каждой точки возмущение приблизительно можно считать
плоской волной, которая распространяется почти также, как в однород-
ной среде. В частности, локальная скорость распространения волны равна
1
Более строгое рассмотрение позволяет в рамках геометрической оптики учесть и
вращение плоскости поляризации [1].

Страницы