Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
1. Комплексным числом z называется выражение вида z = x + ıy, где x, y ∈ R
(здесь ı - так называемая мнимая единица, ı
2
= −1). При этом x = Rez - действи-
тельная, а y = Imz - мнимая часть числа z.
Два комплексных числа z
1
= x
1
+ ıy
1
и z
2
= x
2
+ ıy
2
называются равными, если
x
1
= x
2
, y
1
= y
2
. Число z = x − ıy называется сопряженным к z = x + ıy. Число
λz = (λx) + ı(λy).
Всякое комплексное число z = x + ıy можно отождествить с точкой (x, y) ∈ R
2
.
В этом случае о плоскости R
2
мы будем говорить как о комплексной плоскости C.
Для z = x + ıy 6= 0 можно рассмотреть модуль z |z| =
√
x
2
+ y
2
и аргумент z
Arg z - угол между радиус-вектором точки (x, y) и положительным направлением
действительной оси. Arg z определен неоднозначно. Среди множества значений Arg
z существует единственный угол ϕ ∈ (−π; π]. Этот угол будем называть главным
значением аргумента и обозначать arg z.
Выражение z = x + ıy - алгебраическая форма комплексного числа.
Величины r = |z| и ϕ = arg z можно рассматривать как полярные координаты
точки (x, y). Тогда x = r cos ϕ, y = r sin ϕ и
z = x + ıy = r(cos ϕ + ı sin ϕ)−
тригонометрическая форма комплексного числа.
Используя формулу Л.Эйлера
e
ıϕ
= cos ϕ + ı sin ϕ,
получаем
z = re
ıϕ
−
показательная форма комплексного числа.
В этом случае e
ı0
= 1, e
ıϕ
·e
ıψ
= e
ı(ϕ+ψ)
, e
ı(ϕ+2πk)
= e
ıϕ
(k ∈ Z), e
−ıϕ
=
1
e
ıϕ
, |e
ıϕ
| = 1.
2. Пусть z
1
= x
1
+ ıy
1
и z
2
= x
2
+ ıy
2
. Рассмотрим следующие операции над
комплексными числами z
1
и z
2
:
2
              §1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА



   1.   Комплексным числом z называется выражение вида z = x + ıy, где x, y ∈ R
(здесь ı - так называемая мнимая единица, ı2 = −1). При этом x = Rez - действи-
тельная, а y = Imz - мнимая часть числа z.
   Два комплексных числа z1 = x1 + ıy1 и z2 = x2 + ıy2 называются равными, если
x1 = x2 , y1 = y2 . Число z = x − ıy называется сопряженным к z = x + ıy. Число
λz = (λx) + ı(λy).
                                                                                                   2
   Всякое комплексное число z = x + ıy можно отождествить с точкой (x, y) ∈ R .
                                2
В этом случае о плоскости R мы будем говорить как о комплексной плоскости C.
                                                        √
   Для z = x + ıy 6= 0 можно рассмотреть модуль z |z| = x2 + y 2 и аргумент z
Arg z - угол между радиус-вектором точки (x, y) и положительным направлением
действительной оси. Arg z определен неоднозначно. Среди множества значений Arg
z существует единственный угол ϕ ∈ (−π; π]. Этот угол будем называть главным
значением аргумента и обозначать arg z.
   Выражение z = x + ıy - алгебраическая форма комплексного числа.
   Величины r = |z| и ϕ = arg z можно рассматривать как полярные координаты
точки (x, y). Тогда x = r cos ϕ, y = r sin ϕ и

                             z = x + ıy = r(cos ϕ + ı sin ϕ)−

тригонометрическая форма комплексного числа.
   Используя формулу Л.Эйлера

                                    eıϕ = cos ϕ + ı sin ϕ,

получаем
                                         z = reıϕ −

показательная форма комплексного числа.
   В этом случае eı0 = 1, eıϕ · eıψ = eı(ϕ+ψ) , eı(ϕ+2πk) = eıϕ (k ∈ Z), e−ıϕ =    1
                                                                                  eıϕ
                                                                                      ,   |eıϕ | = 1.



   2. Пусть z1 = x1 + ıy1 и z2 = x2 + ıy2 . Рассмотрим следующие операции над
комплексными числами z1 и z2 :


                                              2

Страницы