Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

- сложение
z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + ı(y
1
+ y
2
);
- вычитание
z
1
+ z
2
= (x
1
− x
2
) + ı(y
1
− y
2
);
- умножение
z
1
· z
2
= (x
1
+ ıy
1
) · (x
2
+ ıy
2
) = (x
1
x
2
− y
1
y
2
) + ı(x
1
y
2
+ x
2
y
1
);
- деление
z
1
z
2
=
z
1
· z
2
z
2
· z
2
.
Некоторые действия с комплексными числами удобно производить, записав числа в
тригонометрической форме. Пусть z
1
= r
1
(cos ϕ
1
+ ı sin ϕ
1
), z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ ı sin ϕ
2
).
Тогда
z
1
· z
2
= r
1
· r
2
(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + ı sin(ϕ
1
+ ϕ
2
))
(модули комплексных чисел умножаются, а аргументы складываются).
Отсюда легко получить формулу Муавра для z = r(cos ϕ + ı sin ϕ)
- возведение в степень
z
n
= r
n
(cos nϕ + ı sin nϕ).
- извлечение корня: корнем n−ой степени из комплексного числа z называет-
ся комплексное число w, такое что w
n
= z (тогда w =
n
√
z). Если z = r(cos ϕ +
ı sin ϕ), w = ρ(cos θ + ı sin θ) и z = w
n
, то
r(cos ϕ + ı sin ϕ) = ρ
n
(cos nθ + ı sin nθ).
Следовательно,
ρ =
n
√
r, θ =
ϕ
n
+
2πk
n
, 0 ≤ k ≤ n − 1,
то есть
w
k
= (
n
√
z)
k
=
n
√
r
Ã
cos
ϕ + 2πk
n
+ ı sin
ϕ + 2πk
n
!
, 0 ≤ k ≤ n − 1.
Примеры.
1. Пусть z = (1 +
√
3ı). Требуется вычислить z
9
.
3
   - сложение
                                 z1 + z2 = (x1 + x2 ) + ı(y1 + y2 );

   - вычитание
                                 z1 + z2 = (x1 − x2 ) + ı(y1 − y2 );

   - умножение

             z1 · z2 = (x1 + ıy1 ) · (x2 + ıy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + ı(x1 y2 + x2 y1 );

   - деление
                                               z1   z1 · z2
                                                  =         .
                                               z2   z2 · z2
Некоторые действия с комплексными числами удобно производить, записав числа в
тригонометрической форме. Пусть z1 = r1 (cos ϕ1 + ı sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + ı sin ϕ2 ).
Тогда
                       z1 · z2 = r1 · r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + ı sin(ϕ1 + ϕ2 ))

(модули комплексных чисел умножаются, а аргументы складываются).
   Отсюда легко получить формулу Муавра для z = r(cos ϕ + ı sin ϕ)
   - возведение в степень

                                      z n = rn (cos nϕ + ı sin nϕ).

   - извлечение корня: корнем n−ой степени из комплексного числа z называет-
                                                     √
ся комплексное число w, такое что wn = z (тогда w = n z). Если z = r(cos ϕ +
ı sin ϕ), w = ρ(cos θ + ı sin θ) и z = wn , то

                            r(cos ϕ + ı sin ϕ) = ρn (cos nθ + ı sin nθ).

Следовательно,
                                 √            ϕ 2πk
                         ρ=      n
                                     r, θ =     +   ,           0 ≤ k ≤ n − 1,
                                              n   n
то есть
                                 Ã                                    !
                 √          √         ϕ + 2πk         ϕ + 2πk
          wk = ( z)k =
                 n          n
                                r cos         + ı sin         ,              0 ≤ k ≤ n − 1.
                                         n               n



   Примеры.
                        √
   1. Пусть z = (1 +        3ı). Требуется вычислить z 9 .

                                                     3

Страницы