Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пусть E ⊂ C. Точка z
0
∈ C называется предельной точкой множества E (соот-
ветственно, точкой прикосновения множества E), если
∀ε > 0 (B
ε
(z
0
)\{z
0
})
\
E 6= ∅
(соответственно,
∀ε > 0 B
ε
(z
0
)
\
E 6= ∅.)
Множество E ⊂ C называется замкнутым, если оно содержит все свои точки
прикосновения.
Множество E ⊂ C называется ограниченным, если
∃M > 0 ∀z ∈ E (ρ(z, 0) = |z| ≤ M).
Теорема Больцано-Вейерштрасса.Всякое бесконечное ограниченное множе-
ство в C имеет хотя бы одну предельную точку.
§3. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Пусть {z
n
} ⊆ C - последовательность комплексных чисел. Число z
0
называется
пределом последовательности {z
n
}, если
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N (|z
n
− z
0
| < ε).
(Обозначения: z
0
= lim
n
z
n
или z
n
→ z
0
(n → ∞).)
2. Предложение. z
n
→ z
0
⇐⇒ x
n
→ x
0
, y
n
→ y
0
, (n → ∞).
(здесь z
n
= x
n
+ ıy
n
, z
0
= x
0
+ ıy
0
.)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть z
n
→ z
0
. Тогда |z
n
− z
0
| →
0 (n → ∞). Имеем:
0 ≤ |x
n
− x
0
| ≤
q
(x
n
− x
0
)
2
+ (y
n
− y
0
)
2
= |z
n
− z
0
| → 0.
Следовательно, x
n
→ x
0
(n → ∞). Аналогично, y
n
→ y
0
(n → ∞).
5
   Пусть E ⊂ C. Точка z0 ∈ C называется предельной точкой множества E (соот-
ветственно, точкой прикосновения множества E), если
                                                          \
                           ∀ε > 0      (Bε (z0 )\{z0 })       E 6= ∅

(соответственно,
                                                     \
                              ∀ε > 0      Bε (z0 )       E 6= ∅.)

   Множество E ⊂ C называется замкнутым, если оно содержит все свои точки
прикосновения.
   Множество E ⊂ C называется ограниченным, если

                         ∃M > 0 ∀z ∈ E         (ρ(z, 0) = |z| ≤ M ).




   Теорема Больцано-Вейерштрасса.Всякое бесконечное ограниченное множе-
ство в C имеет хотя бы одну предельную точку.



            §3. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ



   1. Пусть {zn } ⊆ C - последовательность комплексных чисел. Число z0 называется
пределом последовательности {zn }, если

                     ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N                 (|zn − z0 | < ε).

(Обозначения: z0 = lim zn или zn → z0      (n → ∞).)
                     n




   2. Предложение. zn → z0 ⇐⇒ xn → x0 , yn → y0 , (n → ∞).
     (здесь zn = xn + ıyn , z0 = x0 + ıy0 .)
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть zn → z0 . Тогда |zn − z0 | →
0 (n → ∞). Имеем:
                                 q
              0 ≤ |xn − x0 | ≤    (xn − x0 )2 + (yn − y0 )2 = |zn − z0 | → 0.

Следовательно, xn → x0      (n → ∞). Аналогично, yn → y0               (n → ∞).


                                               5

Страницы