Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Достаточность. Пусть x
n
→ x
0
y
n
→ y
0
(n → ∞). Тогда
|z
n
− z
0
|
2
= (x
n
− x
0
)
2
+ (y
n
− y
0
)
2
→ 0 (n → ∞). ?
Таким образом, все правила вычисления пределов вещественных последователь-
ностей переносятся на случай комплексных последовательностей.
3. Критерий Коши. Последовательность {z
n
} сходится тогда и только тогда,
когда она фундаментальна, то есть
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N (ρ(z
n+p
, z
n
) = |z
n+p
− z
n
| < ε).
§4. ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
1. Пусть E ⊆ C. Рассмотрим отображение f : E → C, w = f(z)− функция ком-
плексного переменного. Задание этой функции равносильно заданию двух функций
u, v : R
2
→ R. При этом u = Ref, v = Imf, f(z) = u(x, y) + ıv(x, y) для z = x + ıy.
Функция f(z) называется однолистной на множестве E, если
∀z
1
, z
2
∈ E z
1
6= z
2
=⇒ f(z
1
) 6= f (z
2
).
2. Пусть f : E → C (E ⊆ C), z
0
− предельная точка множества E. Для любой
последовательности {z
n
} ⊆ E можно рассмотреть последовательность {f(z
n
)}.
Определение. Число α ∈ C называется пределом функции f(z) в точке z
0
, если
f(z
n
) → α для любой последовательности {z
n
} ⊆ E, такой что z
n
→ z
0
(z
n
6= z
0
)
или
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ E (0 < |z − z
0
| < δ =⇒ |f(z) − α| < ε).
3. Предложение. Пусть f(z) = u(x, y) + ıv(x, y). Существование lim
z→z
0
f(z) рав-
носильно двум предельным соотношениям:
lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
u(x, y) = a, lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
v(x, y) = b;
6
   Достаточность. Пусть xn → x0            yn → y0         (n → ∞). Тогда

              |zn − z0 |2 = (xn − x0 )2 + (yn − y0 )2 → 0 (n → ∞).                       ?

   Таким образом, все правила вычисления пределов вещественных последователь-
ностей переносятся на случай комплексных последовательностей.



   3. Критерий Коши. Последовательность {zn } сходится тогда и только тогда,
когда она фундаментальна, то есть

          ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N               ∀ p ∈ N (ρ(zn+p , zn ) = |zn+p − zn | < ε).




      §4. ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ



   1. Пусть E ⊆ C. Рассмотрим отображение f : E → C, w = f (z)− функция ком-
плексного переменного. Задание этой функции равносильно заданию двух функций
      2
u, v : R → R. При этом u = Ref, v = Imf,                  f (z) = u(x, y) + ıv(x, y) для z = x + ıy.
   Функция f (z) называется однолистной на множестве E, если

                    ∀ z1 , z 2 ∈ E       z1 6= z2       =⇒       f (z1 ) 6= f (z2 ).




   2. Пусть f : E → C (E ⊆ C),             z0 − предельная точка множества E. Для любой
последовательности {zn } ⊆ E можно рассмотреть последовательность {f (zn )}.

   Определение. Число α ∈ C называется пределом функции f (z) в точке z0 , если
f (zn ) → α для любой последовательности {zn } ⊆ E, такой что zn → z0                            (zn 6= z0 )
или
           ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ E              (0 < |z − z0 | < δ =⇒ |f (z) − α| < ε).

   3. Предложение. Пусть f (z) = u(x, y) + ıv(x, y). Существование z→z
                                                                    lim f (z) рав-
                                                                                             0

носильно двум предельным соотношениям:

                        lim          u(x, y) = a,            lim          v(x, y) = b;
                   (x,y)→(x0 ,y0 )                      (x,y)→(x0 ,y0 )



                                                    6

Страницы