Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(здесь z
0
= x
0
+ ıy
0
, α = a + ıb).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть lim
z→z
0
f(z), то есть
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ E (0 < |z −z
0
| < δ =⇒ |f(z) − α| < ε).
Пусть z = x + ıy таково, что |z −z
0
| < δ. Тогда k(x, y) − (x
0
, y
0
)k < δ. В этом случае
|u(x, y)−a| = |Re(f(z)−α)| ≤ |f(z)−α| < ε, |v(x, y)−b| = |Im(f(z)−α)| ≤ |f(z)−α| < ε.
Достаточность. Пусть ε > 0 - произвольно. Тогда
∃δ > 0 ∀(x, y) (0 < k(x, y)−(x
0
, y
0
)k < δ =⇒ |u(x, y)−a| <
ε
√
2
; |v(x, y)−b| <
ε
√
2
).
В этом случае для z = x + ıy при 0 < |z − z
0
| < δ имеем
|f(z) − α| =
q
(u(x, y) − a)
2
+ (v(x, y) − b)
2
< ε. ?
Таким образом, все правила вычисления пределов функций двух переменных пе-
реносятся на комплексный случай.
4. Функция f : E → C (E ⊆ C) называется непрерывной в точке z
0
∈ E, если
для любой последовательности {z
n
} ⊂ E
z
n
→ z
0
=⇒ f(z
n
) → f(z
0
) (n → ∞).
Если z
0
∈ E - предельная точка, то функция f непрерывна в z
0
тогда и только тогда,
когда lim
z→z
0
f(z) = f(z
0
).
Если z
0
− изолированная точка множества E, то всякая функция непрерывна в
этой точке.
Непрерывность функции f(z) = u(x, y)+ıv(x, y) в точке z
0
= x
0
+ıy
0
эквивалентна
непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x
0
, y
0
).
§5. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ
Отрезок [α, β] будем считать ориентированным, если указано, что α - начало, а β
- конец отрезка.
7
   (здесь z0 = x0 + ıy0 ,      α = a + ıb).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть lim f (z), то есть
                                                               z→z0


              ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ E             (0 < |z − z0 | < δ =⇒ |f (z) − α| < ε).

Пусть z = x + ıy таково, что |z − z0 | < δ. Тогда k(x, y) − (x0 , y0 )k < δ. В этом случае

|u(x, y)−a| = |Re(f (z)−α)| ≤ |f (z)−α| < ε,           |v(x, y)−b| = |Im(f (z)−α)| ≤ |f (z)−α| < ε.

   Достаточность. Пусть ε > 0 - произвольно. Тогда

                                                               ε                             ε
∃ δ > 0 ∀(x, y) (0 < k(x, y)−(x0 , y0 )k < δ =⇒ |u(x, y)−a| < √ ;             |v(x, y)−b| < √ ).
                                                                2                             2
   В этом случае для z = x + ıy при 0 < |z − z0 | < δ имеем
                                   q
                   |f (z) − α| =       (u(x, y) − a)2 + (v(x, y) − b)2 < ε.   ?




   Таким образом, все правила вычисления пределов функций двух переменных пе-
реносятся на комплексный случай.
   4. Функция f : E → C (E ⊆ C) называется непрерывной в точке z0 ∈ E, если
для любой последовательности {zn } ⊂ E

                              zn → z0 =⇒ f (zn ) → f (z0 ) (n → ∞).

Если z0 ∈ E - предельная точка, то функция f непрерывна в z0 тогда и только тогда,
когда z→z
       lim f (z) = f (z0 ).
          0

   Если z0 − изолированная точка множества E, то всякая функция непрерывна в
этой точке.
   Непрерывность функции f (z) = u(x, y)+ıv(x, y) в точке z0 = x0 +ıy0 эквивалентна
непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0 , y0 ).



                                §5. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ



   Отрезок [α, β] будем считать ориентированным, если указано, что α - начало, а β
- конец отрезка.

                                                   7

Страницы