Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§6. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
1. Пусть G - область в C, f : G → C, w = f(z) = u(x, y) + ıv(x, y). Функция
f называется R-дифференцируемой в точке z
0
= x
0
+ ıy
0
∈ G, если функции u и v
дифференцируемы в точке (x
0
, y
0
) как функции двух переменных.
2. Функция f : G → C называется C-дифференцируемой в точке z
0
∈ G, если
существует
lim
4z→0
f(z
0
+ 4z) − f(z
0
)
4z
.
Этот предел называется производной функции f в точке z
0
и обозначается f
0
(z
0
).
3. Условия Коши-Римана. Пусть f : G → C, w = f(z) = u(x, y) + ıv(x, y ).
Функция f C-дифференцируема в точке z
0
= x
0
+ ıy
0
тогда и только тогда, когда
f R-дифференцируема в точке z
0
и выполнены условия (Коши-Римана):
∂u
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂v
∂y
(x
0
, y
0
);
∂u
∂y
(x
0
, y
0
) = −
∂v
∂x
(x
0
, y
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция f C-дифференцируема
в точке z
0
= x
0
+ ıy
0
. Тогда
4w = f(z
0
+ 4z) − f(z
0
) = f
0
(z
0
)4z + α(z
0
, 4z)4z,
где α → 0 при 4z → 0. Пусть f
0
(z
0
) = a + ıb. Тогда
u(x
0
+ 4x, y
0
+ 4y) −u(x
0
, y
0
) + ı(v(x
0
+ 4x, y
0
+ 4y) −v(x
0
, y
0
)) =
= (a + ıb) · (4x + ı4y) + (α
1
+ ıα
2
) · (4x + ı4y).
Приравнивая действительные и мнимые части равенства, получаем:
4u(x
0
, y
0
) = a4x − b4y + α
1
4x − α
2
4y,
4v(x
0
, y
0
) = b4x + a4y + α
2
4x + α
1
4y,
9
     §6. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА



   1. Пусть G - область в C, f : G → C, w = f (z) = u(x, y) + ıv(x, y). Функция
f называется R-дифференцируемой в точке z0 = x0 + ıy0 ∈ G, если функции u и v
дифференцируемы в точке (x0 , y0 ) как функции двух переменных.



   2. Функция f : G → C называется C-дифференцируемой в точке z0 ∈ G, если
существует
                                       f (z0 + 4z) − f (z0 )
                                lim                          .
                                4z→0           4z
   Этот предел называется производной функции f в точке z0 и обозначается f 0 (z0 ).



   3. Условия Коши-Римана. Пусть f : G → C,                       w = f (z) = u(x, y) + ıv(x, y).
Функция f C-дифференцируема в точке z0 = x0 + ıy0 тогда и только тогда, когда
f R-дифференцируема в точке z0 и выполнены условия (Коши-Римана):

                                 ∂u              ∂v
                                    (x0 , y0 ) =    (x0 , y0 );
                                 ∂x              ∂y
                                ∂u               ∂v
                                   (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ).
                                ∂y               ∂x
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция f C-дифференцируема
в точке z0 = x0 + ıy0 . Тогда

                 4w = f (z0 + 4z) − f (z0 ) = f 0 (z0 )4z + α(z0 , 4z)4z,

где α → 0 при 4z → 0. Пусть f 0 (z0 ) = a + ıb. Тогда

        u(x0 + 4x, y0 + 4y) − u(x0 , y0 ) + ı(v(x0 + 4x, y0 + 4y) − v(x0 , y0 )) =

                   = (a + ıb) · (4x + ı4y) + (α1 + ıα2 ) · (4x + ı4y).

Приравнивая действительные и мнимые части равенства, получаем:

                       4u(x0 , y0 ) = a4x − b4y + α1 4x − α2 4y,

                       4v(x0 , y0 ) = b4x + a4y + α2 4x + α1 4y,


                                               9

Страницы