Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, условия Коши-Римана выполнены, а значит функция C-дифференцируема
в каждой точке комплексной плоскости.
2) Пусть f(z) = z
m
, где m > 2 - целое. Для z = re
ıϕ
имеем:
f(z) = r
m
e
ımϕ
= r
m
cos mϕ + ır
m
sin mϕ.
В этом случае
∂u
∂r
= m · r
m−1
cos mϕ,
∂u
∂ϕ
= −m · r
m
sin mϕ,
∂v
∂r
= m · r
m−1
sin mϕ,
∂v
∂ϕ
= m · r
m
cos mϕ.
Следовательно, выполняются условия Коши-Римана в полярных координатах, а зна-
чит функция C-дифференцируема в каждой точке комплексной плоскости. При этом
f
0
(z) = m · z
m−1
.
6. Функция f(z), C-дифференцируемая в точке z
0
вместе с каждой точкой неко-
торой окрестности z
0
, называется голоморфной в точке z
0
. Если функция f(z) го-
ломорфна в каждой точке некоторой области D, то f(z) называется голоморфной в
области D.
§7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Степенная функция w = z
n
(n ∈ N)
Степенная функция определяется формулой z
n
= z ·z ···z
| {z }
n
.
Если z = r · e
ıϕ
, w = ρ · e
ıψ
, то ρ = r
n
, ψ = nϕ. (Таким образом, рассматриваемое
отображение увеличивает в n раз раствор угла с вершиной в начале координат.)
Функция непрерывна во всех точках z ∈ C. Кроме этого функция аналитична в
C и
dw
dz
= n · z
n
−
1
6= 0 ∀z 6= 0.
Также степенная функция является однозначной, но не является однолистной в
C. Действительно, пусть z
1
, z
2
∈ C\{0} такие, что |z
1
| = |z
2
|, arg z
1
= arg z
2
+
2πk
n
, k ∈
Z. Тогда z
n
1
= z
n
2
.
Для многолистных функций принято выделять области однолистности. Для сте-
пенной функции областью однолистности будет любая область, целиком лежащая
11
Следовательно, условия Коши-Римана выполнены, а значит функция C-дифференцируема
в каждой точке комплексной плоскости.
    2) Пусть f (z) = z m , где m > 2 - целое. Для z = reıϕ имеем:

                          f (z) = rm eımϕ = rm cos mϕ + ırm sin mϕ.

В этом случае
                        ∂u                     ∂u
                            = m · rm−1 cos mϕ,     = −m · rm sin mϕ,
                        ∂r                     ∂ϕ
                         ∂v                     ∂v
                            = m · rm−1 sin mϕ,     = m · rm cos mϕ.
                         ∂r                    ∂ϕ
Следовательно, выполняются условия Коши-Римана в полярных координатах, а зна-
чит функция C-дифференцируема в каждой точке комплексной плоскости. При этом
f 0 (z) = m · z m−1 .



    6. Функция f (z), C-дифференцируемая в точке z0 вместе с каждой точкой неко-
торой окрестности z0 , называется голоморфной в точке z0 . Если функция f (z) го-
ломорфна в каждой точке некоторой области D, то f (z) называется голоморфной в
области D.



                         §7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

    1. Степенная функция w = z n           (n ∈ N)

    Степенная функция определяется формулой z n = z| · z{z· · · z}.
                                                                n
    Если z = r · eıϕ , w = ρ · eıψ , то ρ = rn , ψ = nϕ. (Таким образом, рассматриваемое
отображение увеличивает в n раз раствор угла с вершиной в начале координат.)
    Функция непрерывна во всех точках z ∈ C. Кроме этого функция аналитична в
Cи
                                 dw
                                    = n · z n−1 6= 0 ∀z 6= 0.
                                 dz
    Также степенная функция является однозначной, но не является однолистной в
C. Действительно, пусть z1 , z2 ∈ C\{0} такие, что |z1 | = |z2 |, arg z1 = arg z2 + 2πk
                                                                                     n
                                                                                        ,k∈
Z. Тогда z1n = z2n .
    Для многолистных функций принято выделять области однолистности. Для сте-
пенной функции областью однолистности будет любая область, целиком лежащая

                                             11

Страницы