Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где α
1
, α
2
→ 0 при 4x, 4y → 0. Таким образом, функции u и v дифференцируемы в
точке (x
0
, y
0
) как функции двух переменных, а значит
a =
∂u
∂x
(x
0
, y
0
) =
∂v
∂y
(x
0
, y
0
);
b = −
∂u
∂y
(x
0
, y
0
) =
∂v
∂x
(x
0
, y
0
).
Достаточность. Пусть функции u, v R-дифференцируемы в точке (x
0
, y
0
) и вы-
полнены условия Коши-Римана. Пусть A =
∂u
∂x
(x
0
, y
0
), B =
∂v
∂x
(x
0
, y
0
). С учетом
условий Коши-Римана,
4u(x
0
, y
0
) = A4x − B4y + α ·
q
(4x)
2
+ (4y)
2
, α → 0 при(x, y) → (x
0
, y
0
),
4v(x
0
, y
0
) = B4x + A4y + β ·
q
(4x)
2
+ (4y)
2
, β → 0 при(x, y) → (x
0
, y
0
).
Тогда
4w = 4u + ı4v = A(4x + ı4y) + B(ı4x −4y) + (α + ıβ) ·
q
(4x)
2
+ (4y)
2
=
= (A + ıB) · (4x + ı4y) + o(|z|), при4z → 0.
Следовательно, функция f C-дифференцируема в точке z
0
. ?
4. Замечания.
1) Имеют место следующие равенства:
f
0
(z
0
) =
∂u
∂x
+ ı
∂v
∂x
=
∂u
∂x
− ı
∂u
∂y
=
∂v
∂y
− ı
∂u
∂y
=
∂v
∂y
+ ı
∂v
∂x
.
2) Проверку условий Коши-Римана можно осуществлять и в полярных координа-
тах. Пусть z = x + ıy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Тогда z = re
ıϕ
. Условия Коши-Римана
в этом случае имеют вид:
r ·
∂u
∂r
=
∂v
∂ϕ
,
∂u
∂ϕ
= −r ·
∂v
∂r
.
5. Примеры.
1) Пусть f(z) = z
2
= x
2
− y
2
+ ı · 2xy. Тогда u = x
2
− y
2
, v = 2xy, поэтому
∂u
∂x
= 2x,
∂u
∂y
= −2y,
∂v
∂x
= 2y,
∂v
∂y
= 2x.
10
где α1 , α2 → 0 при 4x, 4y → 0. Таким образом, функции u и v дифференцируемы в
точке (x0 , y0 ) как функции двух переменных, а значит
                                       ∂u              ∂v
                                  a=      (x0 , y0 ) =    (x0 , y0 );
                                       ∂x              ∂y
                                       ∂u              ∂v
                                 b=−      (x0 , y0 ) =    (x0 , y0 ).
                                       ∂y              ∂x
   Достаточность. Пусть функции u, v R-дифференцируемы в точке (x0 , y0 ) и вы-
                                                         ∂u                     ∂v
полнены условия Коши-Римана. Пусть A =                   ∂x
                                                            (x0 , y0 ),   B =   ∂x
                                                                                   (x0 , y0 ).   С учетом
условий Коши-Римана,
                                        q
   4u(x0 , y0 ) = A4x − B4y + α ·           (4x)2 + (4y)2 ,        α → 0 при(x, y) → (x0 , y0 ),
                                        q
   4v(x0 , y0 ) = B4x + A4y + β ·           (4x)2 + (4y)2 ,        β → 0 при(x, y) → (x0 , y0 ).

Тогда
                                                                             q
  4w = 4u + ı4v = A(4x + ı4y) + B(ı4x − 4y) + (α + ıβ) ·                        (4x)2 + (4y)2 =

                    = (A + ıB) · (4x + ı4y) + o(|z|),              при4z → 0.

Следовательно, функция f C-дифференцируема в точке z0 . ?



   4. Замечания.
   1) Имеют место следующие равенства:
                             ∂u    ∂v   ∂u    ∂u   ∂v    ∂u   ∂v   ∂v
               f 0 (z0 ) =      +ı    =    −ı    =    −ı    =    +ı .
                             ∂x    ∂x   ∂x    ∂y   ∂y    ∂y   ∂y   ∂x
   2) Проверку условий Коши-Римана можно осуществлять и в полярных координа-
тах. Пусть z = x + ıy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Тогда z = reıϕ . Условия Коши-Римана
в этом случае имеют вид:
                                             ∂u    ∂v
                                          r·    =     ,
                                             ∂r   ∂ϕ
                                          ∂u        ∂v
                                             = −r ·     .
                                          ∂ϕ        ∂r


   5. Примеры.
   1) Пусть f (z) = z 2 = x2 − y 2 + ı · 2xy. Тогда u = x2 − y 2 , v = 2xy, поэтому
                             ∂u       ∂u        ∂v       ∂v
                                = 2x,    = −2y,    = 2y,    = 2x.
                             ∂x       ∂y        ∂x       ∂y

                                                 10

Страницы