Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 13 стр.

                          2π
внутри угла величиной      n
                               с центром в начале координат. В частности, внутренность
любого угла
                                                     2π
                                    α<ϕ<α+              ,α∈R
                                                      n
является областью однолистности степенной функциии отображается с помощью
этой функции на всю комплексную плоскость с выброшенным лучом.
                                                        2πk
   Таким образом, с помощью лучей ϕ = α +                n
                                                            ,   0 ≤ k ≤ n − 1 всю плоскость z
можно разбить на n областей однолистности степенной функции. Пусть α = 0. Тогда
такими областями являются внутренности углов

                          2πk     2πk + 1
                              <ϕ<         ,           0 ≤ k ≤ n − 1.                         (1)
                           n         n

Построим геометрический образ такой, что функция w = z n устанавливает непре-
рывное биективное соответствие между точками плоскости z и точками этого образа.
                                      2π
Рассмотрим первый угол 0 < ϕ <         n
                                         .   Он отображается на всю плоскость w с выбро-
                                                                                    2π
шенной положительной полуосью. В нее переходят два луча: ϕ = 0 и ϕ =                 n
                                                                                       .   Чтобы
сохранить взаимную однозначность соответствия множества
                                n       ¯                                ¾
                                                                    2π
                          D = z ∈ C ¯¯ |z| ≥ 0, 0 ≤ arg z ≤
                                                                     n

и плоскости w, проведем на плоскости w вдоль действительной положительной по-
луоси разрез и будем считать, что луч ϕ = 0 переходит в "верхний берег"разреза, а
          2π
луч ϕ =    n
               в "нижний берег".


   Таким образом мы изготавливаем n экземпляров плоскости w с разрезами вдоль
положительной части действительной оси, которые являются образами бесконечных
секторов (1). Устанавливаем эти плоскости одна над другой и "склеиваем"с сохра-
нением биективности и непрерывности.


   При этом "нижний берег"разреза первого листа "склеиваем"с "верхним бере-
гом"разреза второго, "нижний берег"разреза второго листа с "верхним берегом"разреза
третьего и т. д. В последнюю очередь производится склейка "верхнего берега"первого
и "нижнего берега"последнего листа. Полученный образ – риманова поверхность
функции w = z n .




                                                12