Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 14 стр.

                        √
    2. Функция w =      n
                            z     (n ∈ N)

    Для числа z = r · eıϕ , z 6= 0 определены n значений корня n-ой степени из числа
z. Рассмотрим
                            √
                 f0 (z) =   n
                                r · eıϕ/n , fk (z) = f0 (z) · e2πkı/n , 1 ≤ k ≤ n − 1.
                                                                                 2πk         2πk+1
    Очевидно, что точки fk (z) по одной расположены в областях                    n
                                                                                       ≤ϕ<     n
                                                                                                   .
    Таким образом, в некоторой односвязной области, не содержащей точку z = 0,
определены n различных (однозначных) функций, каждая из которых является об-
ратной к функции w = z n . Совокупность этих функций определяет многозначную
             √
функцию w = n z, однозначными ветвями которой являются fk (z), 0 ≤ k ≤ n − 1.
    Фиксируя какое-нибудь исходное значение радикала fk (z), заставим точку z0 опи-
сать некоторую замкнутую кривую, не заключающую внутри начала координат.
В этом случае непрерывно меняющийся аргумент z0 вернется к прежнему значе-
                                                                           √
нию,когда точка вновь примет исходное положение. Соответственно и значение n z
останется прежним.


    Совсем иная картина получится,если точка опишет замкнутую кривую, заключа-
ющую внутри начало координат.
   Действительно, рассмотрим для примера окружность с центром в точке z = 0 и
                                                                              √
радиусам r0 : пусть z0 = r0 · eıϕ0 . Тогда f0 (z0 ) = w00 = f0 (r0 · eıϕ0 ) = n r0 · eıϕ0 /n .


     Обойдя окружность, мы попадем в точку r0 ·eı(ϕ0 +2π) . В этом случае f0 (r0 ·eı(ϕ0 +2π) ) =
√                    √
n r · eı(ϕ0 +2π)/n = n r · eıϕ0 /n · e2πı/n = w        ı2π/n
   0                    0                       00 · e       = w10 .
    Таким образом, f0 переводит окружность в дугу w00 w10 . f1 переводит окружность
в дугу w10 w20 и т. д. И только совокупность всех ветвей переведет окружность в
некоторую замкнутую кривую.
    Точка, при обходе которой в достаточно малой ее окрестности осуществляется
переход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой ветвле-
ния. Если после n-кратного обхода в одном и том же направлении мы возвратимся
на начальную ветвь, то такая точка – точка ветвления n−1 порядка. В нашем случае
z = 0 – точка ветвления n − 1 порядка.
                                 √
   Отметим также, что для w = n z
                                            dw  1 1−n
                                               = ·z n ,
                                            dz  n
                                                   13