Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В любой односвязной области, не содержащей точку z = 0, можно построить счет-
ное количество однозначных функций, по отношению к которым функция z 7→ e
z
бу-
дет обратной. Эти функции и представляют собой однозначные ветви многозначной
функции w = Lnz. Главным значением логарифма называют значение,которое полу-
чается в (2) при k = 0: ln z = ln |z|+ ı arg z. Очевидно, что Lnz = ln z + 2πkı, k ∈ Z.
Имеют место следующие соотношения:
Ln(z
1
· z
2
) = Lnz
1
+ Lnz
2
; Ln
z
1
z
2
= Lnz
1
− Lnz
2
.
5. Тригонометрические функции
Тригонометрические функции можно определить следующим образом:
cos z =
e
ı z
+ e
−ı z
2
; sin z =
e
ı z
− e
−ı z
2ı
; tg z =
sin z
cos z
; ctg z =
cos z
sin z
.
Из свойств показательной функции следует, что при z = x значения тригономет-
рических функций комплексного переменного совпадают со значениями соответству-
ющих функций действительного переменного. Действительно,
e
ı x
− e
−ı x
2ı
=
e
0+ı x
− e
0−ı x
2ı
=
e
0
· (cos x + ı sin x) − e
0
· (cos x − ı sin x)
2ı
=
2ı sin x
2ı
= sin x.
Имеют место формулы Эйлера: e
ı z
= cos z + ı sin z, e
−ı z
= cos z − ı sin z. Кро-
ме этого, остаются в силе все формулы,связывающие тригонометрические функции
действительного переменного.
6. Гиперболические функции
Гиперболические функции определяются равенствами:
sh z =
e
z
− e
−z
2
; ch z =
e
z
+ e
−z
2
; th z =
sh z
ch z
; cth z =
ch z
sh z
.
Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следую-
щими соотношениями:
sin z = −ı sh ız; sh z = −ı sin ız; cos z = ch ız; ch z = cos ız;
tg z = −ı th ız; th z = −ı tg ız; ctg z = ı cth ız; cth z = ı ctg ız.
15
   В любой односвязной области, не содержащей точку z = 0, можно построить счет-
ное количество однозначных функций, по отношению к которым функция z 7→ ez бу-
дет обратной. Эти функции и представляют собой однозначные ветви многозначной
функции w = Lnz. Главным значением логарифма называют значение,которое полу-
чается в (2) при k = 0: ln z = ln |z| + ı arg z. Очевидно, что Lnz = ln z + 2πkı,                           k ∈ Z.
   Имеют место следующие соотношения:

                                                                      z1
                      Ln(z1 · z2 ) = Lnz1 + Lnz2 ;               Ln      = Lnz1 − Lnz2 .
                                                                      z2


   5. Тригонометрические функции

   Тригонометрические функции можно определить следующим образом:

                   eı z + e−ı z                 eı z − e−ı z                sin z                 cos z
         cos z =                ;     sin z =                ;     tg z =         ;     ctg z =         .
                         2                           2ı                     cos z                 sin z

   Из свойств показательной функции следует, что при z = x значения тригономет-
рических функций комплексного переменного совпадают со значениями соответству-
ющих функций действительного переменного. Действительно,

eı x − e−ı x   e0+ı x − e0−ı x   e0 · (cos x + ı sin x) − e0 · (cos x − ı sin x)   2ı sin x
             =                 =                                                 =          = sin x.
     2ı               2ı                                2ı                            2ı

   Имеют место формулы Эйлера: eı z = cos z + ı sin z,                         e−ı z = cos z − ı sin z. Кро-
ме этого, остаются в силе все формулы,связывающие тригонометрические функции
действительного переменного.

   6. Гиперболические функции

   Гиперболические функции определяются равенствами:

                      ez − e−z                  ez + e−z                  sh z                  ch z
             sh z =            ;       ch z =            ;       th z =        ;      cth z =        .
                          2                         2                     ch z                  sh z

   Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой следую-
щими соотношениями:

            sin z = −ı sh ız;         sh z = −ı sin ız;          cos z = ch ız;       ch z = cos ız;

          tg z = −ı th ız;          th z = −ı tg ız;      ctg z = ı cth ız;        cth z = ı ctg ız.



                                                       15

Страницы