Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 18 стр.

Каждая из вещественных сумм является интегральной суммой соответствующего
криволинейного интеграла второго рода. В наших предположениях на функции u(x, y),
v(x, y) и кривую γ интегралы существуют, то есть существует предел последователь-
ности интегральных сумм в правой части равенства. Следовательно, существует

                                    lim Sn                  (max |zk − zk−1 | → 0,                   n → ∞).
                                        n                     k


При этом
               Z                   Z                                                 Z                      Z
                    f (z)dz =           (u + ı v)(dx + ı dy) =                           udx − vdy + ı           udy + vdx.
               γ                    γ                                                γ                      γ

   Таким образом, вычисление интеграла от функции комплексного переменного
сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций.?
                                                        R
   Пример.Вычислить J = Imzdz, где γ – полуокружность: |z| = 1, 0 ≤ arg z ≤ π.
                                                        γ


                                    
                                    
                                     x = cos ϕ,
   Очевидно, что γ =                                                  0 ≤ ϕ ≤ π. Тогда
                                    
                                     y = sin ϕ;

           Z                                    Z                 Z                      Zπ                 Zπ
                                                                                                2
     J=            y (dx + ı dy) =                  ydx + ı           ydy = −                 sin ϕdϕ + ı        sin ϕ · cos ϕdϕ =
           γ                                    γ                 γ                      0                  0

                                   π                   Zπ
                                 1Z                                     π
                               =     (cos 2ϕ − 1)dϕ + ı sin ϕd sin ϕ = − .
                                 2                                      2
                                            0                                        0

   2. Очевидно, что на интегралы от функций комплексного переменного распро-
страняются свойства криволинейных интегралов.

                                   Z X
                                     m                                m
                                                                      X          Z
                              1)                ci fi (z)dz =               ci       fi (z)dz                            (линейность).
                                   γ i=1                              i=1        γ
                         Z                      r Z
                                                X                                              r
                                                                                               [
                    2)       f (z)dz =                       f (z)dz,        если γ =                γj               (аддитивность).
                         γ                      j=1 γj                                         j=1
                                            Z                         Z
                                    3)          f (z)dz = −                 f (z)dz                                    ( смена знака).
                                            γ                         γ−
                       ¯          ¯
                       ¯Z         ¯  Z
                       ¯          ¯
                   4) ¯¯ f (z)dz ¯¯ ≤ |f (z)| |dz| ≤ l · max |f (z)| , где l − длина γ.
                       ¯          ¯                      z∈γ
                         γ                          γ



                                                                            17