Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим аналитичную в D функцию
f(z) =
1
z −z
0
.
Тогда z −z
0
= R · e
ı ϕ
, ϕ
0
< ϕ ≤ ϕ
0
+ 2π, dz = R · e
ı ϕ
ı dϕ, поэтому
Z
γ
dz
z −z
0
=
ϕ
0
+2π
Z
ϕ
0
R · e
ı ϕ
ı
R · e
ı ϕ
dϕ = 2πı.
4. Теорема (для многосвязной области) Если f(z) аналитична в односвязной
области D и непрерывна в ее замыкании D , то интеграл, взятый по границе ∂D
этой области, равен нулю, если все граничные контуры ориентированы так, что
при обходе этой границы точки области D остаются слева.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть D – n+1-связная область с заданным обходом границы. Системой разрезов
превратим эту область в односвязную D
∗
, для которой оказывается верной теорема
п. 2. При этом
∂D
∗
= (
n
[
k=0
γ
k
) ∪ (
n
[
k=1
l
+
k
) ∪ (
n
[
k=1
l
−
k
) = ∂D ∪ (
n
[
k=1
l
+
k
) ∪ (
n
[
k=1
l
−
k
).
Тогда
0 =
Z
∂D
∗
f(z)dz =
Z
∂D
f(z)dz +
n
X
k=1
Z
l
+
k
f(z)dz +
n
X
k=1
Z
l
−
k
f(z)dz =
Z
∂D
f(z)dz. ?
5. Интеграл от аналитической функции в односвязной области не зависит от пути
интегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной точки кривой. Действи-
тельно, пусть точки z
1
и z
2
связаны кривыми γ
1
и γ
2
.
Тогда
H
γ
1
+γ
−
2
f(z)dz = 0, поэтому
Z
γ
1
f(z)dz = −
Z
γ
−
2
f(z)dz =
Z
γ
2
f(z)dz.
19
   Рассмотрим аналитичную в D функцию

                                                                         1
                                                     f (z) =                  .
                                                                       z − z0

Тогда z − z0 = R · eı ϕ , ϕ0 < ϕ ≤ ϕ0 + 2π,                              dz = R · eı ϕ ı dϕ, поэтому

                                      Z            ϕ0Z+2π
                                            dz            R · eı ϕ ı
                                                 =                   dϕ = 2πı.
                                      γ
                                          z − z0    ϕ
                                                          R · eı ϕ
                                                               0




   4. Теорема (для многосвязной области) Если f (z) аналитична в односвязной
области D и непрерывна в ее замыкании D , то интеграл, взятый по границе ∂D
этой области, равен нулю, если все граничные контуры ориентированы так, что
при обходе этой границы точки области D остаются слева.
   Д о к а з а т е л ь с т в о.



   Пусть D – n+1-связная область с заданным обходом границы. Системой разрезов
превратим эту область в односвязную D∗ , для которой оказывается верной теорема
п. 2. При этом
                              n
                              [                n
                                               [                   n
                                                                   [                          n
                                                                                              [                n
                                                                                                               [
                    ∂D∗ = (         γk ) ∪ (       lk+ ) ∪ (             lk− ) = ∂D ∪ (            lk+ ) ∪ (       lk− ).
                              k=0            k=1                   k=1                       k=1           k=1

Тогда
              Z                 Z                   n Z
                                                    X                          n Z
                                                                               X                          Z
        0=          f (z)dz =        f (z)dz +                     f (z)dz +                 f (z)dz =         f (z)dz.     ?
             ∂D ∗                                  k=1                         k=1
                                ∂D                       lk+                           lk−               ∂D




   5. Интеграл от аналитической функции в односвязной области не зависит от пути
интегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной точки кривой. Действи-
тельно, пусть точки z1 и z2 связаны кривыми γ1 и γ2 .


               H
   Тогда               f (z)dz = 0, поэтому
             γ1 +γ2−

                                     Z                     Z                      Z
                                          f (z)dz = −               f (z)dz =           f (z)dz.
                                     γ1                   γ2−                     γ2



                                                                    19

Страницы