Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Φ(z) − F (z) = Ψ(z). Тогда (Φ(z) − F (z))
0
=
Ψ
0
(z) = 0. Если Ψ(z) = u(x, y) + ı v(x, y), то Ψ
0
(z) =
∂u
∂x
+ ı
∂v
∂x
=
∂v
∂y
− ı
∂u
∂y
. Поэтому
∂u
∂x
=
∂u
∂y
=
∂v
∂x
=
∂v
∂y
= 0 в области D. Тогда u, v – постоянные в D функции, то
есть u(x, y) = u
0
, v(x, y) = v
0
. В этом случае Ψ(z) = u
0
+ ı v
0
= C, следовательно,
Φ(z) − F (z) = C, то есть Φ(z) = F (z) + C. ?
Отметим, что C = Φ(z
1
), то есть
z
Z
z
1
f(ξ)dξ = Φ(z) − Φ(z
1
),
где Φ(z) – одна из первообразных аналитической функции f(z).
§10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
1. Теорема. Если f(z) аналитична в области D и непрерывна в ее замыкании
D , то
f(z) =
1
2πı
Z
∂D
f(t)
t − z
dt,
где ∂D – граница области D, проходимая так, что область D остается слева.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что порядок связности области D равен
n. Пусть z ∈ D – произвольна. Рассмотрим окружность C
r
с центром в точке z и
радиусом r таким, что C
r
⊂ D. Положим U = {t ∈ D| |t − z| < r}.
Рассмотрим D
∗
= D \ U. Порядок связности этой области равен n + 1. Функция
f(t)
t−z
как функция t аналитична в D. Контуры, составляющие ∂D
∗
, ориентированы
так, что область остается слева. Тогда по теореме Коши
Z
∂D
∗
f(t)
t − z
dt = 0.
Но ∂D
∗
= ∂D
S
C
−
r
(на окружности положительный обход задается против часовой
стрелки). Тогда
1
2πı
Z
∂D
f(t)
t − z
dt =
1
2πı
Z
C
r
f(t)
t − z
dt.
Покажем, что
1
2πı
R
C
r
f(t)
t−z
dt = f(z).
21
        Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Φ(z) − F (z) = Ψ(z). Тогда (Φ(z) − F (z))0 =
                                                                           ∂u       ∂v     ∂v
Ψ0 (z) = 0. Если Ψ(z) = u(x, y) + ı v(x, y), то Ψ0 (z) =                   ∂x
                                                                                + ı ∂x =   ∂y
                                                                                                − ı ∂u
                                                                                                    ∂y
                                                                                                       . Поэтому
∂u          ∂u       ∂v        ∂v
∂x
        =   ∂y
                 =   ∂x
                          =    ∂y
                                    = 0 в области D. Тогда u, v – постоянные в D функции, то
есть u(x, y) = u0 , v(x, y) = v0 . В этом случае Ψ(z) = u0 + ı v0 = C, следовательно,
Φ(z) − F (z) = C, то есть Φ(z) = F (z) + C. ?
        Отметим, что C = Φ(z1 ), то есть
                                           Zz
                                                f (ξ)dξ = Φ(z) − Φ(z1 ),
                                           z1


где Φ(z) – одна из первообразных аналитической функции f (z).



                          §10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

        1. Теорема. Если f (z) аналитична в области D и непрерывна в ее замыкании
D , то
                                                           1 Z f (t)
                                                f (z) =              dt,
                                                          2πı  t−z
                                                              ∂D

где ∂D – граница области D, проходимая так, что область D остается слева.
        Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что порядок связности области D равен
n. Пусть z ∈ D – произвольна. Рассмотрим окружность Cr с центром в точке z и
радиусом r таким, что Cr ⊂ D. Положим U = {t ∈ D | |t − z| < r}.



        Рассмотрим D∗ = D \ U . Порядок связности этой области равен n + 1. Функция
f (t)
t−z
        как функция t аналитична в D. Контуры, составляющие ∂D∗ , ориентированы
так, что область остается слева. Тогда по теореме Коши
                                                   Z
                                                          f (t)
                                                                dt = 0.
                                                          t−z
                                                  ∂D ∗
                      S
Но ∂D∗ = ∂D               Cr− (на окружности положительный обход задается против часовой
стрелки). Тогда
                                         1 Z f (t)       1 Z f (t)
                                                   dt =            dt.
                                        2πı  t−z        2πı t − z
                                            ∂D                     Cr

              1 R f (t)
Покажем, что 2πı  t−z
                        dt = f (z).
                              Cr




                                                             21

Страницы