Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если имеет место (2), то |f(z)| = M 6= 0 (если M = 0, то утверждение очевидно).
Тогда ln f(z) = ln |f(z)|+ ı arg f(z) = ln M + ı arg f(z). Таким образом, для функции
ln f(z) выполняется условие (1), поэтому ln f(z) – постоянная функция, а значит
постоянна и f(z). ?
2. Пусть далее имеется функция f(z) 6= const, аналитичная в D и непрерывная в
D. Тогда |f (z)| – непрерывен в D, следовательно, |f (z)| достигает своих экстремаль-
ных значений. Какие именно точки могут быть точками максимума |f(z)|? Ответ на
этот вопрос дает
Теорема [Принцип максимума модуля аналитической функции]. Пусть f(z) 6=
const аналитична в D и непрерывна в D. Тогда |f(z)| достигает максимального
значения только на границе множества D.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть max
z∈D
|f(z)| = M достигается во внутренней точке
D. Рассмотрим множество
E =
n
z ∈ D
¯
¯
¯|f(z)| = M
o
.
Очевидно, что E 6= D. Тогда множество E обладает граничными точками, принад-
лежащими множеству D. Пусть z
0
– одна из таких точек.
Тогда f(z
0
) = M в силу непрерывности функции f(z), поскольку в любой окрест-
ности z
0
есть точки из множества E. Построим окружность C = {z ∈ D| |z − z
0
| = r},
целиком лежащую в D, и такую, что ∃z
1
∈ C, z
1
∈E. При этом |f(z
1
)| < M.
Тогда в силу непрерывности функции f (z)
∀ε > 0 ∃z ∈ C (|f(z)| < M − ε).
Обозначим множество таких точек через C
ε
⊂ C. По теореме о среднем имеем:
|f(z
0
)| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2πr
Z
C
f(z
0
+ re
ı θ
)ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
1
2πr
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
C
ε
f(t)ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
C\C
ε
f(t)ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Заметим, что
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
C
ε
f(t)ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤ max
t∈C
ε
|f(t)| · l
ε
< (M − ε) · l
ε
,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Z
C\C
ε
f(t)ds
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤ M · (2πr −l
ε
)
23
   Если имеет место (2), то |f (z)| = M 6= 0 (если M = 0, то утверждение очевидно).
Тогда ln f (z) = ln |f (z)| + ı arg f (z) = ln M + ı arg f (z). Таким образом, для функции
ln f (z) выполняется условие (1), поэтому ln f (z) – постоянная функция, а значит
постоянна и f (z).    ?

   2. Пусть далее имеется функция f (z) 6= const, аналитичная в D и непрерывная в
D. Тогда |f (z)| – непрерывен в D, следовательно, |f (z)| достигает своих экстремаль-
ных значений. Какие именно точки могут быть точками максимума |f (z)|? Ответ на
этот вопрос дает
Теорема [Принцип максимума модуля аналитической функции]. Пусть f (z) 6=
const аналитична в D и непрерывна в D. Тогда |f (z)| достигает максимального
значения только на границе множества D.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть max |f (z)| = M достигается во внутренней точке
                                           z∈D
D. Рассмотрим множество
                                       n         ¯               o
                                 E = z ∈ D ¯¯ |f (z)| = M .

Очевидно, что E 6= D. Тогда множество E обладает граничными точками, принад-
лежащими множеству D. Пусть z0 – одна из таких точек.



   Тогда f (z0 ) = M в силу непрерывности функции f (z), поскольку в любой окрест-
ности z0 есть точки из множества E. Построим окружность C = {z ∈ D | |z − z0 | = r},
целиком лежащую в D, и такую, что ∃z1 ∈ C, z1 ∈E. При этом |f (z1 )| < M .
   Тогда в силу непрерывности функции f (z)

                             ∀ ε > 0 ∃z ∈ C          (|f (z)| < M − ε).

Обозначим множество таких точек через Cε ⊂ C. По теореме о среднем имеем:
                       ¯                         ¯      ¯        ¯ ¯              ¯
                       ¯     Z                   ¯        ¯Z      ¯ ¯ Z            ¯
                       ¯ 1                       ¯    1   ¯       ¯   ¯            ¯
                                                         ¯       ¯   ¯
          |f (z0 )| = ¯¯       f (z0 + reı θ )ds¯¯ ≤    ¯ f (t)ds¯ + ¯    f (t)ds¯¯.
                       ¯ 2πr                     ¯   2πr ¯¯       ¯ ¯
                                                                  ¯   ¯
                                                                                   ¯
                                                                                   ¯
                             C                            Cε          C\Cε

Заметим, что              ¯         ¯
                          ¯Z        ¯
                          ¯         ¯
                          ¯         ¯
                          ¯ f (t)ds¯ ≤ max |f (t)| · lε < (M − ε) · lε ,
                          ¯         ¯    t∈Cε
                          ¯Cε       ¯
                                ¯             ¯
                                ¯ Z           ¯
                                ¯             ¯
                                ¯
                                ¯     f (t)ds¯¯ ≤ M · (2πr − lε )
                                ¯             ¯
                                ¯C\Cε         ¯


                                                 23

Страницы