Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 26 стр.

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства используем метод математической
индукции по n.
   1 шаг. Так как f аналитична в D, достаточно показать, что

                                                         1 Z f (t)
                                        f 0 (z) =                    dt.
                                                        2πi (t − z)2
                                                           ∂D

Действительно,                ¯                                      ¯
                              ¯                         Z            ¯
                              ¯ f (z + h) − f (z)    1      f (t)    ¯
                              ¯                   −               dt ¯=
                              ¯
                              ¯         h           2πi   (t − z)2 ¯¯
                                                                ∂D
                ¯                                                                    ¯
                ¯           Z                   Z                      Z               ¯
                ¯ 1                f (t)           f (t)           1        f (t)      ¯
              =¯¯                        dt −              
                                                          dt −                      dt¯¯ =
                                                                                  2
                ¯ 2πih         t−z−h               t−z            2πi    (t − z) ¯
                           ∂D                  ∂D                     ∂D
                 ¯                                                                     ¯
                 ¯        Z        µ                     ¶            Z                ¯
                 ¯ 1                     1           1             1       f  (t)      ¯
               =¯¯           f (t)             −           dt −                     dt¯¯ =
                                                                                  2
                 ¯ 2πih              t−z−h t−z                   2πi     (t − z) ¯
                        ∂D                                           ∂D
    ¯                                                       ¯   ¯                              ¯
    ¯     Z                                  Z              ¯   ¯      Z                       ¯
    ¯ 1             f (t)                 1       f (t)     ¯   ¯ 1               f (t)h       ¯
    ¯                              dt −                     ¯   ¯
                                                          dt¯ = ¯                           dt¯¯ .
    ¯                                                   2                         2
    ¯ 2πi   (t − z)(t − z − h)           2πi    (t − z) ¯ ¯ 2πi          (t − z) (t − z − h) ¯
         ∂D                                         ∂D                     ∂D

   Пусть далее M = max |f (z)|, d = min |t − z| = ρ(z, ∂D), а l - длина ∂D. Выберем
                                                    z∈∂D
h так, что |h| < d2 . Тогда
                                                                 d
                                       |t − z| ≥ d, |t − z − h| ≥ .
                                                                 2
   Имеем:
        ¯                                        ¯
        ¯                         Z              ¯
        ¯ f (z + h) − f (z)    1      f (t)      ¯   |h|       |f (t)|
        ¯                   −                 dt¯¯ ≤     · max             ·l ≤
        ¯
        ¯         h           2πi   (t − z) ¯ 2π t∈∂D |t − z|2 |t − z − h|
                                            2
                                        ∂D

                                  |h| 2M      M l|h|
                              ≤      · 3 ·l =        → 0 (h → 0).
                                  2π d         πd3
   Предположим, что равенство верно при любом натуральном n ≤ k − 1.Покажем,
что оно верно и для n = k.
                                                                                       
         f k−1 (z + h) − f k−1 (z)   (k − 1)!  Z     f (t)         Z
                                                                        f (t)
                                   =                         k
                                                               dt −            dt =
                     h                 2πih       (t − z − h)         (t − z)k
                                                           ∂D                   ∂D
                                       Z            Ã                           !
                            (k − 1)!                          1            1
                        =                   f (t)                  k
                                                                     −          dt =
                              2πih                      (t − z − h)    (t − z)k
                                       ∂D
                Z
           k!                f (t)            (k − 1)! Z      f (t)ho(1)
     ==                                  dt +                                  dt (h → 0).
          2πi        (t − z)(t − z − h)k        2πi      (t − z)k (t − z − h)k
                ∂D                                              ∂D




                                                           25