Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(здесь l
ε
– длина дуги C
ε
). Тогда
|f(z
0
)| ≤
1
2πr
((M − ε) · l
ε
+ M · 2πr − M · l
ε
) = M −
ε · l
ε
2πr
.
Имеем:
M = |f(z
0
)| < M −
ε · l
ε
2πr
.
Пришли к противоречию. ?
Замечание. Пусть f(z) 6= const аналитична в D, непрерывна в D и f(z) 6=
0 ∀z ∈ D. Тогда |f(z)| достигает минимального значения только на границе множе-
ства D.
3. Лемма Шварца. Пусть функция f(z) аналитична в единичном круге |z| < 1
и непрерывна в замкнутом круге |z| ≤ 1, f(0) = 0. Если всюду в круге |f(z)| ≤ 1,
то в этом же круге |f(z)| ≤ |z|. Если хотя бы в одной внутренней точке круга
|f(z)| = |z|, то это равенство верно и во всем круге; при этом f(z) = z · e
ı α
, где
α ∈ R – постоянная величина.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию ϕ(z) =
f(z)
z
, если z 6= 0;
f
0
(0), если z = 0.
ϕ(z) – аналитична в кольце 0 < |z| < 1 и непрерывна в замкнутом круге |z| ≤ 1. Тогда
ϕ(z) аналитична в круге |z| < 1, следовательно, к этой функции можно применить
принцип максимума модуля. Так как на окружности |z| = 1 |ϕ(z)| = |f(z)| ≤ 1, то
и всюду в круге |ϕ(z)| ≤ 1, а значит |f(z)| ≤ |z|.
Если теперь в какой-нибудь внутренней точке |f(z
0
)| = |z
0
|, то |ϕ(z
0
)| = 1. Но то-
гда по принципу максимума модуля |ϕ(z)| = 1 во всех точках круга. Следовательно,
ϕ(z) постоянна. Так как |ϕ(z)| = 1, то ϕ(z) = e
ı α
(α ∈ R – постоянная величина). Но
тогда f(z) = z · e
ı α
. ?
§12. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. НЕРАВЕНСТВА КОШИ
1. Пусть f(z) аналитична в области D и непрерывна в D . Тогда в каждой
точке z ∈ D существует при любом n ∈ N f
(n)
(z), причем
f
(n)
(z) =
n!
2πi
Z
∂D
f(t)
(t − z)
n+1
dt.
24
(здесь lε – длина дуги Cε ). Тогда

                               1                                           ε · lε
                |f (z0 )| ≤       ((M − ε) · lε + M · 2πr − M · lε ) = M −        .
                              2πr                                          2πr

Имеем:
                                                               ε · lε
                                       M = |f (z0 )| < M −            .
                                                               2πr
Пришли к противоречию.                  ?

    Замечание. Пусть f (z) 6= const аналитична в D, непрерывна в D и f (z) 6=
0 ∀z ∈ D. Тогда |f (z)| достигает минимального значения только на границе множе-
ства D.

    3. Лемма Шварца. Пусть функция f (z) аналитична в единичном круге |z| < 1
и непрерывна в замкнутом круге |z| ≤ 1, f (0) = 0. Если всюду в круге |f (z)| ≤ 1,
то в этом же круге |f (z)| ≤ |z|. Если хотя бы в одной внутренней точке круга
|f (z)| = |z|, то это равенство верно и во всем круге; при этом f (z) = z · eı α , где
α ∈ R – постоянная величина.                                              
                                                                          
                                                                             f (z)
                                                                                z
                                                                                    ,   если z 6= 0;
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию ϕ(z) = 
                                                                              0
                                                                           f (0), если z = 0.
ϕ(z) – аналитична в кольце 0 < |z| < 1 и непрерывна в замкнутом круге |z| ≤ 1. Тогда
ϕ(z) аналитична в круге |z| < 1, следовательно, к этой функции можно применить
принцип максимума модуля. Так как на окружности |z| = 1 |ϕ(z)| = |f (z)| ≤ 1, то
и всюду в круге |ϕ(z)| ≤ 1, а значит |f (z)| ≤ |z|.
    Если теперь в какой-нибудь внутренней точке |f (z0 )| = |z0 |, то |ϕ(z0 )| = 1. Но то-
гда по принципу максимума модуля |ϕ(z)| = 1 во всех точках круга. Следовательно,
ϕ(z) постоянна. Так как |ϕ(z)| = 1, то ϕ(z) = eı α (α ∈ R – постоянная величина). Но
тогда f (z) = z · eı α . ?



§12. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. НЕРАВЕНСТВА КОШИ

    1.    Пусть f (z) аналитична в области D и непрерывна в D. Тогда в каждой
точке z ∈ D существует при любом n ∈ N f (n) (z), причем

                                       (n)          n! Z    f (t)
                                   f         (z) =                  dt.
                                                   2πi   (t − z)n+1
                                                      ∂D




                                                      24

Страницы