Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда
f
(k)
(z) = lim
h→0
f
k−1
(z + h) − f
k−1
(z)
h
=
k!
2πi
Z
∂D
f(t)
(t − z)
k+1
dt. ?
2. Неравенства Коши. Пусть f(z) аналитична в области D и непрерывна в
D. Величины M, d, l таковы, что |f(z)| ≤ M (z ∈ D), d = ρ(z, ∂D), l - длина
∂D. Тогда для любого натурального k
|f
k
(z)| ≤
k! · l · M
2πd
k+1
(z ∈ D).
Если D : |z − z
0
| < R, то для любого натурального k
|f
k
(z
0
)| ≤
k! · M
R
k
.
3. Теорема Лиувилля. Если f(z) аналитична в C, |f(z)| ≤ M (z ∈ C), то
f(z) ≡ Const.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z
0
∈ C произвольна. Проведем окружность
достаточно большого произвольного радиуса R с центром в точке z
0
. Так как f(z)
аналитична в круге |z| < R, |f(z)| ≤ M, то |f
0
(z
0
)| ≤
M
R
. В силу произвольности R,
переходя к пределу при R → ∞, имеем:
|f
0
(z
0
)| = 0 ⇒ f
0
(z
0
).
Тогда, в силу произвольности z
0
, f
0
(z) = 0 ∀z ∈ C. Следовательно, f(z) ≡ Const.?
4. Теорема Мореры. Если f (z) непрерывна в односвязной области D и
Z
γ
f(z)dz = 0
для любого замкнутого контура γ ⊂ D, то f(z) аналитична в D.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как интеграл по любому замкнутому контуру γ ⊂ D
равен нулю, то корректно определена функция
F (z) =
z
Z
z
1
f(t)dt (z ∈ D).
26
   Тогда

                          f k−1 (z + h) − f k−1 (z)    k! Z    f (t)
           f (k) (z) = lim                          =                  dt.                  ?
                      h→0             h               2πi   (t − z)k+1
                                                                     ∂D



   2. Неравенства Коши. Пусть f (z) аналитична в области D и непрерывна в
D. Величины M, d, l таковы, что |f (z)| ≤ M                    (z ∈ D),          d = ρ(z, ∂D),   l - длина
∂D. Тогда для любого натурального k

                                           k! · l · M
                             |f k (z)| ≤                        (z ∈ D).
                                            2πdk+1


   Если D : |z − z0 | < R, то для любого натурального k

                                                          k! · M
                                     |f k (z0 )| ≤               .
                                                            Rk


   3. Теорема Лиувилля. Если f (z) аналитична в C, |f (z)| ≤ M                               (z ∈ C), то
f (z) ≡ Const.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z0 ∈ C произвольна. Проведем окружность
достаточно большого произвольного радиуса R с центром в точке z0 . Так как f (z)
                                                                          M
аналитична в круге |z| < R,      |f (z)| ≤ M , то |f 0 (z0 )| ≤           R
                                                                            .   В силу произвольности R,
переходя к пределу при R → ∞, имеем:

                                   |f 0 (z0 )| = 0 ⇒ f 0 (z0 ).

Тогда, в силу произвольности z0 , f 0 (z) = 0 ∀z ∈ C. Следовательно, f (z) ≡ Const.?

   4. Теорема Мореры. Если f (z) непрерывна в односвязной области D и
                                           Z
                                                f (z)dz = 0
                                           γ


для любого замкнутого контура γ ⊂ D, то f (z) аналитична в D.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как интеграл по любому замкнутому контуру γ ⊂ D
равен нулю, то корректно определена функция
                                               Zz
                               F (z) =              f (t)dt (z ∈ D).
                                           z1



                                                     26

Страницы