Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Повторяя доказательство п. 5 §9, имеем: F (z)− аналитична в D и F
0
(z) = f(z).
Тогда, в частности, существует F
00
(z) = f
0
(z) (z ∈ D). Следовательно, f(z) анали-
тична в D. ?
§13. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РЯДОМ ТЕЙЛОРА
1. Все определения и понятия, связанные с числовыми и функциональными ря-
дами на числовой прямой R, переносятся на случай комплексной плоскости C.
Рассмотрим ряд
∞
P
k=0
f
k
(z) и последовательность частных сумм S
n
(z) =
n
P
k=0
f
k
(z).
Ряд
∞
P
k=0
f
k
(z) сходится в точке z
0
, если существует конечный lim
n
S
n
(z
0
). Если ряд
сходится в каждой точке
z
∈ D
, то ряд сходится в
D
.
Ряд
∞
P
k=0
f
k
(z) сходится равномерно в D, если
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ∀p ∈ N ∀z ∈ D (|S
n+p
(z) − S
n
(z)| < ε) .
Если все функции f
k
(z) непрерывны в D и ряд
∞
P
k=0
f
k
(z) сходится в D равномерно,
то сумма ряда S(z) =
∞
P
k=0
f
k
(z) непрерывна в D.
Если ряд
∞
P
k=0
f
k
(z) сходится равномерно на контуре γ, все функции f
k
(z) непре-
рывны на γ, то
Z
γ
S(z)dz =
∞
X
k=0
Z
γ
f
k
(z)dz,
причем ряд в правой части сходится равномерно.
2. Пусть q ∈ C \ {1}. Тогда для любого натурального n
1
1 − q
= 1 + q + q
2
+ . . . + q
n
+
q
n+1
1 − q
=
n
X
k=0
q
k
+
q
n+1
1 − q
.
Пусть f(z) аналитична в области D, t - переменная точка, пробегающая замкну-
тый контур γ ⊂ D, z и a лежат внутри γ. Тогда
1
t − z
=
1
t − a
·
1
1 −
z−a
t−a
=
1
t − a
·
n
X
k=0
µ
z − a
t − a
k
+
1
t − a
·
1
1 −
z−a
t−a
·
µ
z − a
t − a
n+1
.
Умножая обе части равенства на
f(t)
2πi
и интегрируя вдоль контура γ, имеем:
1
2πi
Z
γ
f(t)
t − z
dt =
1
2πi
Z
γ
n
X
k=0
f(t) · (z − a)
k
(t − a)
k+1
dt +
1
2πi
Z
γ
f(t)
(t − z)(t − a)
n+1
dt · (z − a)
n+1
.
27
     Повторяя доказательство п. 5 §9, имеем: F (z)− аналитична в D и F 0 (z) = f (z).
  Тогда, в частности, существует F 00 (z) = f 0 (z) (z ∈ D). Следовательно, f (z) анали-
  тична в D. ?




§13. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ РЯДОМ ТЕЙЛОРА

     1. Все определения и понятия, связанные с числовыми и функциональными ря-
  дами на числовой прямой R, переносятся на случай комплексной плоскости C.
                                ∞
                                P                                                                      n
                                                                                                       P
     Рассмотрим ряд                  fk (z) и последовательность частных сумм Sn (z) =                       fk (z).
                               k=0                                                                     k=0
        ∞
        P
  Ряд         fk (z) сходится в точке z0 , если существует конечный lim
                                                                      n
                                                                        Sn (z0 ). Если ряд
        k=0
  сходится в каждой точке z ∈ D, то ряд сходится в D.
              ∞
              P
     Ряд            fk (z) сходится равномерно в D, если
              k=0

         ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N                     ∀p ∈ N ∀z ∈ D                (|Sn+p (z) − Sn (z)| < ε) .
                                                                       ∞
                                                                       P
     Если все функции fk (z) непрерывны в D и ряд                           fk (z) сходится в D равномерно,
                                                                      k=0
                                 ∞
                                 P
  то сумма ряда S(z) =                 fk (z) непрерывна в D.
                                 k=0
                      ∞
                      P
     Если ряд               fk (z) сходится равномерно на контуре γ, все функции fk (z) непре-
                      k=0
  рывны на γ, то
                                           Z               ∞ Z
                                                           X
                                               S(z)dz =            fk (z)dz,
                                           γ               k=0 γ

  причем ряд в правой части сходится равномерно.

     2. Пусть q ∈ C \ {1}. Тогда для любого натурального n
                                                                  n
                           1                              q n+1   X      q n+1
                              = 1 + q + q2 + . . . + qn +       =   qk +       .
                          1−q                             1 − q k=0      1−q

     Пусть f (z) аналитична в области D, t - переменная точка, пробегающая замкну-
  тый контур γ ⊂ D, z и a лежат внутри γ. Тогда
                                      n µ      ¶                    µ      ¶
         1      1      1         1    X   z−a k      1      1         z − a n+1
            =      ·         =      ·            +      ·         ·             .
        t−z   t − a 1 − z−a
                         t−a
                               t − a k=0 t − a     t − a 1 − z−a
                                                              t−a
                                                                      t−a
                                                   f (t)
     Умножая обе части равенства на                2πi
                                                           и интегрируя вдоль контура γ, имеем:

     1 Z f (t)        1 Z X n
                              f (t) · (z − a)k       1 Z         f (t)
                dt =                     k+1
                                               dt +                         dt · (z − a)n+1 .
    2πi γ t − z      2πi γ k=0 (t − a)              2πi γ (t − z)(t − a)n+1

                                                           27

Страницы