Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда
f(z) = f(a) + f
0
(a)(z −a) + . . . +
f
(n)
(a)
n!
(z −a)
n
+ R
n
,
где
R
n
=
(z −a)
n+1
2πi
Z
γ
f(t)
(t − z)(t − a)
n+1
dt.
Нас будет интересовать вопрос: когда R
n
→ 0 (n → ∞), то есть при каких условиях
функция f(z) представима своим рядом Тейлора в точке a?
3. Если f(z) аналитична в круге |z −a| < R, то в этом круге она представима
рядом Тейлора. Кроме того, ряд сходится равномерно в замкнутом круге |z −a| ≤ r
для любого r < R.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f(z) аналитична к круге |z − a| < R; 0 < R
1
<
R, 0 < k < 1. Пусть z лежит в круге |z − a| < kR
1
, γ - окружность |t − a| = R
1
.
Тогда |t − z| ≥ R
1
− kR
1
= (1 −k)R
1
. В этом случае
|R
n
| =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
(z − a)
n+1
2πi
Z
γ
f(t)
(t − z)(t − a)
n+1
dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
k
n+1
R
n+1
1
2π
·
M · 2πR
1
(1 − k)R
n+2
1
=
k
n+1
M
1 − k
.
(Здесь M = max
|z−a|≤R
|f(z)|.)
Так как 0 < k < 1, то R
n
равномерно стремится к 0 при n → ∞.
Кроме того, для любого r < R множество |z − a| ≤ r при подходящем выборе
величин R
1
и k можно считать подмножеством круга |z − a| < kR
1
. Тогда в круге
|z − a| ≤ r имеет место равномерная сходимость.?
4. Теорема Вейерштрасса. Пусть функции f
k
(z) при любом k аналитичны
в односвязной области D, ряд
∞
P
k=0
f
k
(z) сходится равномерно ∀D
∗
⊂ D.
Тогда (1) Сумма ряда S(z) аналитична в D;
(2) Ряд можно почленно дифференцировать сколь угодно раз и
S
(n)
(z) =
∞
X
k=0
f
(n)
k
(z).
Д о к а з а т е л ь с т в о. (1). Ряд
∞
P
k=0
f
k
(z) сходится равномерно на любом контуре
γ ⊂ D, следовательно, ряд можно почленно интегрировать, то есть
∞
X
k=0
Z
γ
f
k
(z)dz =
Z
γ
S(z)dz.
28
Тогда
                                                                   f (n) (a)
                   f (z) = f (a) + f 0 (a)(z − a) + . . . +                  (z − a)n + Rn ,
                                                                      n!
где
                                      (z − a)n+1 Z        f (t)
                               Rn =                               n+1
                                                                      dt.
                                         2πi     γ
                                                   (t − z)(t −  a)

Нас будет интересовать вопрос: когда Rn → 0 (n → ∞), то есть при каких условиях
функция f (z) представима своим рядом Тейлора в точке a?

      3. Если f (z) аналитична в круге |z − a| < R, то в этом круге она представима
рядом Тейлора. Кроме того, ряд сходится равномерно в замкнутом круге |z − a| ≤ r
для любого r < R.
      Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (z) аналитична к круге |z − a| < R; 0 < R1 <
R,     0 < k < 1. Пусть z лежит в круге |z − a| < kR1 , γ - окружность |t − a| = R1 .
Тогда |t − z| ≥ R1 − kR1 = (1 − k)R1 . В этом случае
                ¯                                  ¯
                ¯            Z                     ¯
                ¯ (z − a)n+1          f (t)        ¯  k n+1 R1n+1    M · 2πR1      k n+1 M
       |Rn | = ¯¯                               dt ¯≤             ·              =         .
                ¯    2πi   γ
                               (t − z)(t − a)n+1 ¯¯       2π        (1 − k)R1n+2    1−k

(Здесь M = max |f (z)|.)
                |z−a|≤R
      Так как 0 < k < 1, то Rn равномерно стремится к 0 при n → ∞.
      Кроме того, для любого r < R множество |z − a| ≤ r при подходящем выборе
величин R1 и k можно считать подмножеством круга |z − a| < kR1 . Тогда в круге
|z − a| ≤ r имеет место равномерная сходимость.?

      4. Теорема Вейерштрасса. Пусть функции fk (z) при любом k аналитичны
                                        ∞
                                        P
в односвязной области D, ряд                  fk (z) сходится равномерно ∀ D∗ ⊂ D.
                                       k=0
      Тогда (1) Сумма ряда S(z) аналитична в D;
              (2) Ряд можно почленно дифференцировать сколь угодно раз и
                                                        ∞
                                                        X (n)
                                         S (n) (z) =          fk (z).
                                                        k=0



                                                ∞
                                                P
      Д о к а з а т е л ь с т в о. (1). Ряд           fk (z) сходится равномерно на любом контуре
                                                k=0
γ ⊂ D, следовательно, ряд можно почленно интегрировать, то есть
                                      ∞ Z
                                      X                       Z
                                               fk (z)dz =         S(z)dz.
                                      k=0 γ                   γ


                                                       28

Страницы