Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Предложение 1. Если ряд (*) сходится в точке z = z
∗
, то ряд сходится и в
любой точке z такой, что |z − z
0
| < |z
∗
− z
0
|.
Предложение 2. Если R - радиус сходимости степенного ряда (*), то ряд схо-
дится равномерно в любом замкнутом круге |z − z
0
| ≤ r (r < R).
Теорема. Каждый степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим f(z) =
∞
P
k=0
a
k
(z − z
0
)
k
. Так как a
k
(z − z
0
)
k
аналитичны в C и ряд сходится равномерно внутри замкнутого круга |z−z
0
| ≤ r < R,
то по теореме Вейерштрасса f(z) аналитична в круге |z −z
0
| < R. Тогда ряд можно
сколь угодно раз почленно дифференцировать:
f
0
(z) =
∞
X
k=1
ka
k
(z − z
0
)
k−1
,
f
00
(z) =
∞
X
k=2
k(k − 1)a
k
(z − z
0
)
k−2
,
. . .
f
(m)
(z) =
∞
X
k=m
k(k − 1) . . . (k − m + 1)a
k
(z − z
0
)
k−m
.
Положив во всех равенствах z = z
0
, имеем:
a
0
= f(z
0
),
a
1
= f
0
(z
0
),
2a
2
= f
00
(z
0
),
. . .
m(m − 1) . . . 2 · 1 · a
m
= f
(m)
(z
0
).
Следовательно,
a
m
=
1
m!
f
(m)
(z
0
) (m = 0, 1, 2, . . . ). ?
6. Теорема единственности аналитической функции. Пусть f, g - ана-
литические в области D функции и f(z) = g(z) для любого z ∈ E ⊂ D, где E имеет
в D хотя бы одну предельную точку. Тогда f(z) = g(z) ∀z ∈ D.
30
Предложение 1. Если ряд (*) сходится в точке z = z ∗ , то ряд сходится и в
любой точке z такой, что |z − z0 | < |z∗ − z0 |.

Предложение 2. Если R - радиус сходимости степенного ряда (*), то ряд схо-
дится равномерно в любом замкнутом круге |z − z0 | ≤ r                       (r < R).

Теорема. Каждый степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы.
                                                                ∞
                                                                P
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим f (z) =                    ak (z − z0 )k . Так как ak (z − z0 )k
                                                                k=0
аналитичны в C и ряд сходится равномерно внутри замкнутого круга |z−z0 | ≤ r < R,
то по теореме Вейерштрасса f (z) аналитична в круге |z − z0 | < R. Тогда ряд можно
сколь угодно раз почленно дифференцировать:
                                              ∞
                                              X
                                 f 0 (z) =          kak (z − z0 )k−1 ,
                                              k=1

                                        ∞
                                        X
                           f 00 (z) =         k(k − 1)ak (z − z0 )k−2 ,
                                        k=2
                                                    ...
                               ∞
                               X
                 f (m) (z) =         k(k − 1) . . . (k − m + 1)ak (z − z0 )k−m .
                               k=m

Положив во всех равенствах z = z0 , имеем:

                                              a0 = f (z0 ),

                                             a1 = f 0 (z0 ),

                                          2a2 = f 00 (z0 ),

                                                    ...

                             m(m − 1) . . . 2 · 1 · am = f (m) (z0 ).

Следовательно,
                               1 (m)
                      am =        f (z0 )            (m = 0, 1, 2, . . .).      ?
                               m!

   6. Теорема единственности аналитической функции. Пусть f, g - ана-
литические в области D функции и f (z) = g(z) для любого z ∈ E ⊂ D, где E имеет
в D хотя бы одну предельную точку. Тогда f (z) = g(z) ∀ z ∈ D.




                                                    30

Страницы