Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z
0
- предельная точка множества E, z
0
∈ D. Так
как f, g аналитичны в D, то существует U(z
0
) - круг с центром в точке z
0
такой, что
U(z
0
) ⊂ D и
f(z) = a
0
+ a
1
(z −z
0
) + a
2
(z −z
0
)
2
+ . . . ,
g(z) = b
0
+ b
1
(z −z
0
) + b
2
(z −z
0
)
2
+ . . . .
Так как z
0
- предельная точка множества E, то существует последовательность {z
n
} ⊂
E, z
0
= lim
n
z
n
. Так как при любом n z
n
∈ E, то f(z
n
) = g(z
n
). Тогда
(∗∗) f(z
n
) = a
0
+a
1
(z
n
−z
0
)+a
2
(z
n
−z
0
)
2
+. . . = b
0
+b
1
(z
n
−z
0
)+b
2
(z
n
−z
0
)
2
+. . . = g(z
n
).
Переходя к пределу при n → ∞, имеем: a
0
= b
0
.
Вычитая из обеих частей равенства (**) a
0
и разделив на z
n
− z
0
, получим:
a
1
+ a
2
(z
n
− z
0
) + . . . = b
1
+ b
2
(z
n
− z
0
) + . . .
Переходя к пределу при n → ∞, имеем: a
1
= b
1
. Аналогичным образом получаем:
a
k
= b
k
∀k ∈ N. Таким образом, в круге U(z
0
) f(z) = g(z).
Рассмотрим z
1
∈ U(z
0
). Очевидно, что z
1
∈ D, f(z
1
) = g(z
1
), z
1
- предельная
точка U(z
0
). Тогда f(z) = g(z) в окрестности точки z
1
.
Пусть z
∗
- произвольная точка D. Требуется показать, что f(z
∗
) = g(z
∗
). Со-
единим z
0
и z
∗
непрерывным путем, лежащим в D. Продолжая описанную выше
процедуру, имеем множество окрестностей, покрывающих путь из z
0
в z
∗
, в каждой
из которых f(z) = g(z). Поскольку из этого покрытия можно выделить конечное
подпокрытие, то, повторяя процедуру конечное число раз, получим требуемое. ?
Замечания.
1) Если известны значения аналитической функции на элементах некоторой после-
довательности, имеющей предел в D, то f однозначно определена в D.
2) Если f(z) = g(z) в произвольно малой окрестности фиксированной точки z
0
∈
D, то f(z) = g(z) в D.
31
     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z0 - предельная точка множества E, z0 ∈ D. Так
как f, g аналитичны в D, то существует U(z0 ) - круг с центром в точке z0 такой, что
U(z0 ) ⊂ D и
                          f (z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + . . . ,

                           g(z) = b0 + b1 (z − z0 ) + b2 (z − z0 )2 + . . . .

Так как z0 - предельная точка множества E, то существует последовательность {zn } ⊂
E,    z0 = lim zn . Так как при любом n zn ∈ E, то f (zn ) = g(zn ). Тогда
            n


(∗∗) f (zn ) = a0 +a1 (zn −z0 )+a2 (zn −z0 )2 +. . . = b0 +b1 (zn −z0 )+b2 (zn −z0 )2 +. . . = g(zn ).

Переходя к пределу при n → ∞, имеем: a0 = b0 .
     Вычитая из обеих частей равенства (**) a0 и разделив на zn − z0 , получим:

                         a1 + a2 (zn − z0 ) + . . . = b1 + b2 (zn − z0 ) + . . .

Переходя к пределу при n → ∞, имеем: a1 = b1 . Аналогичным образом получаем:
ak = bk    ∀ k ∈ N. Таким образом, в круге U(z0 )               f (z) = g(z).
     Рассмотрим z1 ∈ U(z0 ). Очевидно, что z1 ∈ D,               f (z1 ) = g(z1 ),   z1 - предельная
точка U(z0 ). Тогда f (z) = g(z) в окрестности точки z1 .
     Пусть z ∗ - произвольная точка D. Требуется показать, что f (z ∗ ) = g(z ∗ ). Со-
единим z0 и z ∗ непрерывным путем, лежащим в D. Продолжая описанную выше
процедуру, имеем множество окрестностей, покрывающих путь из z0 в z ∗ , в каждой
из которых f (z) = g(z). Поскольку из этого покрытия можно выделить конечное
подпокрытие, то, повторяя процедуру конечное число раз, получим требуемое. ?

     Замечания.
1) Если известны значения аналитической функции на элементах некоторой после-
довательности, имеющей предел в D, то f однозначно определена в D.
     2) Если f (z) = g(z) в произвольно малой окрестности фиксированной точки z0 ∈
D, то f (z) = g(z) в D.




                                                   31

Страницы