Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

сходится в круге |z − z
0
| < R.
Для определения области сходимости ряда
(2)
−1
X
k=−∞
c
k
(z − z
0
)
k
положим z − z
0
=
1
t
. Тогда
−1
X
k=−∞
c
k
(z − z
0
)
k
=
−1
X
k=−∞
c
k
t
−k
=
+∞
X
k=1
c
−k
t
k
.
Имеем степенной ряд, который сходится в круге |t| < ρ. Таким образом, ряд (2)
сходится на множестве
1
|z−z
0
|
< ρ, то есть |z − z
0
| > r, где r =
1
ρ
.
Имеем: ряд (2) сходится во внешности некоторого круга радиуса r с центром в
точке z
0
.
Возможны следующие варианты:
1. R ≤ r . Ряд (*) не сходится.
2. r < R. Ряд (*) сходится в кольце r < |z − z
0
| < R.
Таким образом, областью сходимости билотерного ряда является кольцо.
В любом кольце, вложенном в кольцо сходимости, ряд сходится равномерно. Тогда
по теореме Вейерштрасса сумма билотерного ряда - аналитическая в кольце сходи-
мости функция. Верно и обратное утверждение.
2. Любая функция, аналитическая в кольце r < |z − z
0
| < R, может быть
разложена в сходящийся билотерный ряд, называемый рядом Лорана.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть r
1
и R
1
таковы, что r < r
1
< R
1
< R. Функция
f(z) является аналитической в каждой точке z такой, что r
1
< |z − z
0
| < R
1
. Тогда
f(z) =
1
2πi
Z
C
R
1
S
C
−
r
1
f(t)
t − z
dt =
1
2πi
Z
C
R
1
f(t)
t − z
dt −
1
2πi
Z
C
r
1
f(t)
t − z
dt = f
1
(z) + f
2
(z)
(здесь C
R
1
, C
r
1
- окружности с центром в точке z
0
и радиусами R
1
и r
1
соответственно).
Рассмотрим f
1
(z). Пусть t ∈ C
R
1
. Тогда
1
t − z
=
1
t − z
0
·
1
1 −
z−z
0
t−z
0
=
∞
X
k=0
(z − z
0
)
k
(t − z
0
)
k+1
.
Умножая обе части равенства на
f(t)
2πi
и интегрируя вдоль C
R
1
, имеем
f
1
(z) =
1
2πi
Z
C
R
1
f(t)
t − z
dt =
∞
X
k=0
A
k
(z − z
0
)
k
,
33
сходится в круге |z − z0 | < R.
      Для определения области сходимости ряда
                                                        −1
                                                        X
(2)                                                             ck (z − z0 )k
                                                       k=−∞

положим z − z0 = 1t . Тогда
                                       −1
                                       X                            −1
                                                                    X                 +∞
                                                                                      X
                                            ck (z − z0 )k =                ck t−k =         c−k tk .
                                  k=−∞                              k=−∞              k=1

Имеем степенной ряд, который сходится в круге |t| < ρ. Таким образом, ряд (2)
                                         1
сходится на множестве                  |z−z0 |
                                                 < ρ, то есть |z − z0 | > r, где r = ρ1 .
      Имеем: ряд (2) сходится во внешности некоторого круга радиуса r с центром в
точке z0 .
      Возможны следующие варианты:
      1. R ≤ r. Ряд (*) не сходится.
      2. r < R. Ряд (*) сходится в кольце r < |z − z0 | < R.
      Таким образом, областью сходимости билотерного ряда является кольцо.
      В любом кольце, вложенном в кольцо сходимости, ряд сходится равномерно. Тогда
по теореме Вейерштрасса сумма билотерного ряда - аналитическая в кольце сходи-
мости функция. Верно и обратное утверждение.

      2. Любая функция, аналитическая в кольце r < |z − z0 | < R, может быть
разложена в сходящийся билотерный ряд, называемый рядом Лорана.
      Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть r1 и R1 таковы, что r < r1 < R1 < R. Функция
f (z) является аналитической в каждой точке z такой, что r1 < |z − z0 | < R1 . Тогда
                            Z
                 1                     f (t)       1 Z f (t)       1 Z f (t)
        f (z) =                              dt =            dt −            dt = f1 (z) + f2 (z)
                2πi         S          t−z        2πi  t−z        2πi  t−z
                      CR1       Cr−1                        CR1                       Cr1


(здесь CR1 , Cr1 - окружности с центром в точке z0 и радиусами R1 и r1 соответственно).
      Рассмотрим f1 (z). Пусть t ∈ CR1 . Тогда
                                                           ∞
                                   1       1      1       X    (z − z0 )k
                                      =       ·         =                  .
                                  t−z   t − z0 1 − z−z0
                                                   t−z0   k=0 (t − z0 )
                                                                       k+1


                                                            f (t)
      Умножая обе части равенства на                        2πi
                                                                    и интегрируя вдоль CR1 , имеем

                                                   1 Z f (t)      X∞
                                   f1 (z) =                  dt =     Ak (z − z0 )k ,
                                                  2πi  t−z        k=0
                                                      CR1


                                                                    33

Страницы