Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§14. НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
1. Пусть f(z) - аналитическая в области D функция. Точка z
0
∈ D называется
нулем аналитической функции f, если f(z
0
) = 0.
Множество нулей может быть как конечно, так и бесконечно.
2. Любой нуль аналитической функции - изолированная точка в множестве нулей.
3. Множество нулей аналитической функции не более чем счетно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В круге |z| ≤ 1 конечное число нулей. В противном
случае по теореме единственности f(z) ≡ 0. Также для любого натурального n в
кольце n < |z| ≤ n + 1 конечное число нулей. Так как счетное объединение конечных
множеств не более чем счетно, то получаем требуемое. ?
4. Предельные точки множества нулей аналитической функции могут лежать
лишь на границе области аналитичности.
5. Пусть z
0
- нуль функции f. Тогда в окрестности U(z
0
) степенной ряд функции
f имеет вид: f(z) = a
1
(z − z
0
) + a
2
(z − z
0
)
2
+ . . ..
Допустим, что a
0
= a
1
= . . . = a
m−1
= 0, a
m
6= 0. Тогда f(z) = a
m
(z − z
0
)
m
+
a
m+1
(z − z
0
)
m+1
+ . . . = (z − z
0
)
m
· (a
m
+ a
m+1
(z − z
0
) + . . .) = (z − z
0
)
m
ϕ(z), где
ϕ(z) =
∞
P
k=0
a
m+k
(z − z
0
)
k
- аналитическая в U(z
0
) функция, причем, ϕ(z
0
) 6= 0(= a
m
).
Таким образом, в окрестности U(z
0
) f(z) = (z − z
0
)
m
· ϕ(z), где ϕ(z) - ана-
литическая функция, отличная от нуля в точке z
0
. При этом число m называют
порядком нуля. Другими словами, z
0
является нулем порядка m функции f , если
f(z
0
) = f
0
(z
0
) = . . . = f
(m−1)
(z
0
) = 0, f
(m)
(z
0
) 6= 0.
§15. РЯД ЛОРАНА
1. Рассмотрим формальную сумму
(∗)
+∞
X
k=−∞
c
k
(z − z
0
)
k
=
+∞
X
k=0
c
k
(z − z
0
)
k
+
−1
X
k=−∞
c
k
(z − z
0
)
k
.
Эту сумму будем называть билотерным рядом. Под областью сходимости данного
ряда будем понимать пересечение областей сходимости этих рядов. Ряд
(1)
+∞
X
k=0
c
k
(z − z
0
)
k
32
                     §14. НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

      1. Пусть f (z) - аналитическая в области D функция. Точка z0 ∈ D называется
нулем аналитической функции f , если f (z0 ) = 0.
      Множество нулей может быть как конечно, так и бесконечно.

      2. Любой нуль аналитической функции - изолированная точка в множестве нулей.

      3. Множество нулей аналитической функции не более чем счетно.
      Д о к а з а т е л ь с т в о. В круге |z| ≤ 1 конечное число нулей. В противном
случае по теореме единственности f (z) ≡ 0. Также для любого натурального n в
кольце n < |z| ≤ n + 1 конечное число нулей. Так как счетное объединение конечных
множеств не более чем счетно, то получаем требуемое. ?

      4. Предельные точки множества нулей аналитической функции могут лежать
лишь на границе области аналитичности.

      5. Пусть z0 - нуль функции f . Тогда в окрестности U(z0 ) степенной ряд функции
f имеет вид: f (z) = a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + . . ..
      Допустим, что a0 = a1 = . . . = am−1 = 0,                  am 6= 0. Тогда f (z) = am (z − z0 )m +
am+1 (z − z0 )m+1 + . . . = (z − z0 )m · (am + am+1 (z − z0 ) + . . .) = (z − z0 )m ϕ(z), где
          ∞
          P
ϕ(z) =         am+k (z − z0 )k - аналитическая в U(z0 ) функция, причем, ϕ(z0 ) 6= 0(= am ).
         k=0
      Таким образом, в окрестности U(z0 ) f (z) = (z − z0 )m · ϕ(z), где ϕ(z) - ана-
литическая функция, отличная от нуля в точке z0 . При этом число m называют
порядком нуля. Другими словами, z0 является нулем порядка m функции f , если
f (z0 ) = f 0 (z0 ) = . . . = f (m−1) (z0 ) = 0,     f (m) (z0 ) 6= 0.




                                         §15. РЯД ЛОРАНА

      1. Рассмотрим формальную сумму
                       +∞
                       X                       +∞
                                               X                         −1
                                                                         X
(∗)                          ck (z − z0 )k =         ck (z − z0 )k +            ck (z − z0 )k .
                      k=−∞                     k=0                       k=−∞

Эту сумму будем называть билотерным рядом. Под областью сходимости данного
ряда будем понимать пересечение областей сходимости этих рядов. Ряд
                                               +∞
                                               X
(1)                                                  ck (z − z0 )k
                                               k=0


                                                        32

Страницы