Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где
A
k
=
1
2πi
Z
C
R
1
f(t)
(t − z
0
)
k+1
dt, k = 0, 1, 2, . . .
Рассмотрим f
2
(z). Пусть t ∈ C
r
1
. Тогда
1
t − z
=
1
t − z
0
− (z −z
0
)
= −
1
z −z
0
·
1
1 −
t−z
0
z−z
0
= −
∞
X
k=0
(t − z
0
)
k
(z −z
0
)
k+1
.
Умножая обе части равенства на
f(t)
2πi
и интегрируя вдоль C
r
1
, имеем
f
2
(z) = −
1
2πi
Z
C
r
1
f(t)
t − z
dt =
∞
X
k=0
1
2πi
Z
C
r
1
f(t)(t − z
0
)
k
(z −z
0
)
k+1
dt =
∞
X
k=0
B
k
(z −z
0
)
−(k+1)
,
где
B
k
=
1
2πi
Z
C
r
1
f(t)(t − z
0
)
k
dt, k = 0, 1, 2, . . .
Таким образом,
f(z) =
∞
X
k=0
A
k
(z −z
0
)
k
+
∞
X
k=0
B
k
(z −z
0
)
k+1
, r
1
< |z −z
0
| < R
1
.
Покажем, что существует общая формула для коэффициентов этого билотерного
ряда. Пусть −(k + 1) = m, k = −m − 1. Тогда
∞
X
k=0
B
k
(z −z
0
)
−(k+1)
=
−∞
X
m=−1
B
−m−1
(z −z
0
)
m
=
−∞
X
k=−1
B
−k−1
(z −z
0
)
k
.
Пусть
c
k
=
A
k
, если k = 0, 1, . . . ,
−B
−k−1
, еслиk = −1, −2, . . . .
Тогда
f(z) =
+∞
X
−∞
c
k
(z −z
0
)
k
,
где
c
k
=
1
2πi
Z
C
ρ
f(t)
(t − z
0
)
k+1
dt, k ∈ Z, r
1
≤ ρ ≤ R
1
.
(В силу теоремы Коши мы можем заменить C
r
1
и C
R
1
на C
ρ
.)
Так как r
1
и R
1
были выбраны произвольно, то полученное представление имеет
место в кольце r < |z − z
0
| < R. ?
3. Замечания.
34
где
                                       1 Z     f (t)
                               Ak =                     dt,               k = 0, 1, 2, . . .
                                      2πi  (t − z0 )k+1
                                           CR1

      Рассмотрим f2 (z). Пусть t ∈ Cr1 . Тогда
                                                              ∞
              1            1               1       1         X    (t − z0 )k
                 =                    =−       ·    t−z0 = −              k+1
                                                                              .
             t−z   t − z0 − (z − z0 )    z − z0 1 − z−z 0    k=0 (z − z0 )

                                                        f (t)
      Умножая обе части равенства на                    2πi
                                                                и интегрируя вдоль Cr1 , имеем

                    1 Z f (t)      X∞
                                        1 Z f (t)(t − z0 )k      X∞
        f2 (z) = −            dt =                      k+1
                                                            dt =     Bk (z − z0 )−(k+1) ,
                   2πi  t−z        k=0 2πi   (z −  z 0 )         k=0
                         Cr1                              Cr1

где
                                       1 Z
                               Bk =        f (t)(t − z0 )k dt,             k = 0, 1, 2, . . .
                                      2πi
                                           Cr1

      Таким образом,
                         ∞
                         X                            ∞
                                                      X       Bk
              f (z) =          Ak (z − z0 )k +                     k+1
                                                                       ,           r1 < |z − z0 | < R1 .
                        k=0                           k=0 (z − z0 )

      Покажем, что существует общая формула для коэффициентов этого билотерного
ряда. Пусть −(k + 1) = m, k = −m − 1. Тогда
             ∞
             X                                   −∞
                                                 X                                 −∞
                                                                                   X
                   Bk (z − z0 )−(k+1) =                B−m−1 (z − z0 )m =                 B−k−1 (z − z0 )k .
             k=0                             m=−1                                  k=−1

Пусть                                  
                                       
                                        Ak ,   если k = 0, 1, . . . ,
                                ck = 
                                      −B−k−1 , еслиk = −1, −2, . . . .

Тогда
                                                          +∞
                                                          X
                                            f (z) =             ck (z − z0 )k ,
                                                          −∞
где
                                 1 Z    f (t)
                        ck =                     dt,                 k ∈ Z,       r1 ≤ ρ ≤ R1 .
                                2πi (t − z0 )k+1
                                      Cρ

(В силу теоремы Коши мы можем заменить Cr1 и CR1 на Cρ .)
      Так как r1 и R1 были выбраны произвольно, то полученное представление имеет
место в кольце r < |z − z0 | < R. ?

      3. Замечания.

                                                                34

Страницы