Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) Ряд
∞
P
k=0
c
k
(z − z
0
)
k
называется правильной частью ряда Лорана,
а ряд
−1
P
k=−∞
c
k
(z − z
0
)
k
- главной частью ряда Лорана.
2) Если ряд
+∞
P
k=−∞
c
k
(z −z
0
)
k
сходится в кольце r < |z −z
0
| < R, то он является рядом
Лорана своей суммы.
3) Разложение в ряд Лорана единственно для данной функции в данном кольце.
4) Для коэффициентов ряда Лорана
+∞
P
k=−∞
c
k
(z − z
0
)
k
имеют место следующие нера-
венства (аналог неравенств Коши): если f(z) ограничена на окружности
|z − z
0
| = R, |f(z)| ≤ M, то |c
k
| ≤
M
R
k
, k ∈ Z.
§16. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
1. Точка z
0
называется особой точкой функции f , если в этой точке не выполня-
ется условие аналитичности.
Точка z
0
называется изолированной особой точкой функции f, если существует
окрестность U(z
0
) такая, что ∀z ∈
ˇ
U(z
0
) ( то есть для всех z, таких что 0 < |z−z
0
| < r)
f(z) - аналитическая.
2. Пусть z
0
-изолированная особая точка функции f. Тогда в кольце 0 < |z −z
0
| <
r f(z) - аналитическая, следовательно, представима рядом Лорана:
f(z) =
+∞
X
k=−∞
c
k
(z − z
0
)
k
.
Изолированные особые точки делятся на три группы:
1) z
0
- устранимая особая точка функции, если разложение в ряд Лорана не содер-
жит главной части, то есть
f(z) =
+∞
X
k=0
c
k
(z − z
0
)
k
(0 < |z −z
0
| < r).
2) z
0
- полюс (порядка m), если разложение в ряд Лорана содержит конечное число
(m 6= 0 ) отрицательных степеней, то есть
f(z) =
+∞
X
k=−m
c
k
(z − z
0
)
k
.
35
         ∞
         P
1) Ряд         ck (z − z0 )k называется правильной частью ряда Лорана,
         k=0
         −1
         P
а ряд          ck (z − z0 )k - главной частью ряда Лорана.
        k=−∞
                 +∞
                 P
2) Если ряд            ck (z − z0 )k сходится в кольце r < |z − z0 | < R, то он является рядом
                k=−∞
Лорана своей суммы.

3) Разложение в ряд Лорана единственно для данной функции в данном кольце.
                                                   +∞
                                                   P
4) Для коэффициентов ряда Лорана                          ck (z − z0 )k имеют место следующие нера-
                                                 k=−∞
венства (аналог неравенств Коши): если f (z) ограничена на окружности
    |z − z0 | = R,     |f (z)| ≤ M , то |ck | ≤    M
                                                   Rk
                                                      ,     k ∈ Z.




                     §16. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ

    1. Точка z0 называется особой точкой функции f , если в этой точке не выполня-
ется условие аналитичности.
    Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f , если существует
окрестность U(z0 ) такая, что ∀ z ∈ Ǔ(z0 ) ( то есть для всех z, таких что 0 < |z−z0 | < r)
f (z) - аналитическая.

    2. Пусть z0 -изолированная особая точка функции f . Тогда в кольце 0 < |z − z0 | <
r   f (z) - аналитическая, следовательно, представима рядом Лорана:
                                                   +∞
                                                   X
                                      f (z) =             ck (z − z0 )k .
                                                  k=−∞

    Изолированные особые точки делятся на три группы:
1) z0 - устранимая особая точка функции, если разложение в ряд Лорана не содер-
жит главной части, то есть
                                    +∞
                                    X
                          f (z) =         ck (z − z0 )k       (0 < |z − z0 | < r).
                                    k=0


2) z0 - полюс (порядка m), если разложение в ряд Лорана содержит конечное число
(m 6= 0) отрицательных степеней, то есть
                                                   +∞
                                                   X
                                      f (z) =             ck (z − z0 )k .
                                                  k=−m


                                                      35

Страницы