ВУЗ:
Составители:
Достаточность. Если существует конечный lim
z→z
0
f(z), то f(z) ограничена в неко-
торой окрестности точки z
0
. Следовательно, |f(z)| также ограничен. Поэтому по тео-
реме 1 z
0
- устранимая особая точка. ?
Пример. Пусть f(z) =
sin z
z
. При z 6= 0 f(z) аналитическая. При этом
f(z) =
1
z
=
∞
X
k=1
(−1)
k−1
k!
z
k
=
∞
X
k=0
(−1)
k
(k + 1)!
z
k
.
Разложение не содержит главной части. f(z) в точке z = 0 не определена, но ее можно
доопределить так, чтобы f(z) стала аналитической в C, положив f(0) = lim
z→0
sin z
z
=
c
0
= 1.
4. Теоремы о полюсах.
Теорема 3. Если |f(z)| не является ограниченным в некоторой окрестности
точки z
0
U(z
0
), но |(z −z
0
)
m
f(z)| - ограничен в U(z
0
), то z
0
- полюс функции f(z).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В точке z ∈
ˇ
U(z
0
) (z − z
0
)
m
f(z) аналитична. Тогда
по теореме 3 z
0
либо устранимая особая точка, либо точка аналитичности функции
(z − z
0
)
m
f(z), причем
(z − z
0
)
m
f(z) = c
0
+ c
1
(z − z
0
) + c
2
(z − z
0
)
2
. . . .
Тогда
f(z) =
c
0
(z − z
0
)
m
+
c
1
(z − z
0
)
m−1
+
c
2
(z − z
0
)
m−2
+ . . . .
Следовательно, z = z
0
- полюс, так как все коэффициенты c
0
, c
1
, . . . , c
m
не могут
быть равны нулю в силу неограниченности |f(z)|.
Если c
0
6= 0, то m - порядок полюса и f(z) = (z −z
0
)
−m
·ϕ(z), где ϕ(z) аналитична
в U(z
0
) и ϕ(z
0
) 6= 0 .?
Теорема 4. Пусть z
0
- изолированная особая точка функции f. z
0
- полюс тогда
и только тогда, когда lim
z→z
0
|f(z)| = ∞.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть z
0
- полюс порядка m, то есть в
некоторой окрестности U(z
0
)
f(z) =
c
−m
(z − z
0
)
m
+
c
−m+1
(z − z
0
)
m−1
+ . . . .
Тогда ϕ(z) = (z − z
0
)
m
f(z) представима в U(z
0
) сходящимся степенным рядом, сле-
довательно, является аналитической. При этом ϕ(z
0
) = c
−m
6= 0. Тогда
lim
z→z
0
|f(z)| = lim
z→z
0
|ϕ(z)|
|z − z
0
|
m
= ∞.
37
Достаточность. Если существует конечный z→z
lim f (z), то f (z) ограничена в неко-
0
торой окрестности точки z0 . Следовательно, |f (z)| также ограничен. Поэтому по тео-
реме 1 z0 - устранимая особая точка. ?
sin z
Пример. Пусть f (z) = z
. При z 6= 0 f (z) аналитическая. При этом
∞ ∞
1 X (−1)k−1 k X (−1)k k
f (z) = = z = z .
z k=1 k! k=0 (k + 1)!
Разложение не содержит главной части. f (z) в точке z = 0 не определена, но ее можно
доопределить так, чтобы f (z) стала аналитической в C, положив f (0) = lim sinz z =
z→0
c0 = 1.
4. Теоремы о полюсах.
Теорема 3. Если |f (z)| не является ограниченным в некоторой окрестности
точки z0 U(z0 ), но |(z − z0 )m f (z)| - ограничен в U(z0 ), то z0 - полюс функции f (z).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В точке z ∈ Ǔ(z0 ) (z − z0 )m f (z) аналитична. Тогда
по теореме 3 z0 либо устранимая особая точка, либо точка аналитичности функции
(z − z0 )m f (z), причем
(z − z0 )m f (z) = c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 . . . .
Тогда
c0 c1 c2
f (z) = m
+ m−1
+ + ....
(z − z0 ) (z − z0 ) (z − z0 )m−2
Следовательно, z = z0 - полюс, так как все коэффициенты c0 , c1 , . . . , cm не могут
быть равны нулю в силу неограниченности |f (z)|.
Если c0 6= 0, то m - порядок полюса и f (z) = (z − z0 )−m · ϕ(z), где ϕ(z) аналитична
в U(z0 ) и ϕ(z0 ) 6= 0.?
Теорема 4. Пусть z0 - изолированная особая точка функции f . z0 - полюс тогда
и только тогда, когда lim |f (z)| = ∞.
z→z0
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть z0 - полюс порядка m, то есть в
некоторой окрестности U(z0 )
c−m c−m+1
f (z) = m
+ + ....
(z − z0 ) (z − z0 )m−1
Тогда ϕ(z) = (z − z0 )m f (z) представима в U(z0 ) сходящимся степенным рядом, сле-
довательно, является аналитической. При этом ϕ(z0 ) = c−m 6= 0. Тогда
|ϕ(z)|
lim |f (z)| = lim = ∞.
z→z0 z→z0 |z − z0 |m
37
