ВУЗ:
Составители:
Достаточность. Пусть lim
z→z
0
|f(z)| = ∞. Тогда f(z) 6= 0 в некоторой окрестности
U(z
0
), причем в
ˇ
U(z
0
) f(z) - аналитическая. В этом случае для g(z) =
1
f(z)
lim
z→z
0
g(z) =
0, следовательно, z
0
- устранимая особая точка функции g. Положив g(z
0
) = 0, полу-
чим, что z = z
0
- изолированный нуль функции g(z). Пусть m - порядок этого нуля.
Тогда
g(z) = (z − z
0
)
m
ϕ(z),
где ϕ - аналитическая в U(z
0
) ϕ(z
0
) 6= 0 в
ˇ
U(z
0
). В этом случае
1
ϕ(z)
аналитична в
U(z
0
) и
1
ϕ(z)
=
∞
X
k=0
c
−m+k
(z − z
0
)
k
, c
−m
=
1
ϕ(a)
6= 0.
Тогда
f(z) =
1
(z − z
0
)
m
·
1
ϕ(z)
=
∞
X
k=−m
c
k
(z − z
0
)
k
, z ∈
ˇ
U(z
0
).
Таким образом, z
0
- полюс порядка m. ?
Пример. Пусть
f(z) =
P
n
(z)
Q
m
(z)
и z
1
, z
2
, . . . , z
p
- корни уравнения Q
m
(z) = 0 (p ≤ m). Точка z
i
(1 ≤ i ≤ p) является
полюсом функции f того же порядка, какой имеет z
i
как нуль функции Q
m
.
5. Теоремы о существенно особых точках.
Исходя из теорем 2 и 4 можно получить следующую теорему.
Теорема 5. Пусть z
0
- изолированная особая точка функции f. z
0
- существенно
особая точка тогда и только тогда, когда lim
z→z
0
|f(z)| не существует.
Теорема 6[Сохоцкого]. Пусть z
0
- существенно особая точка функции f, A
- произвольная величина (конечная или равная бесконечности). Тогда существует
последовательность {z
n
} такая, что lim
n
z
n
= z
0
, lim
n
f(z
n
) = A.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
A = ∞ : существование последовательности {z
n
} такой, что lim
n
z
n
= z
0
, lim
n
f(z
n
) =
∞ очевидно, иначе |f(z)| был бы ограничен в U(z
0
), что противоречит тому, что z
0
-
существенно особая точка.
A 6= ∞. Рассмотрим два случая.
38
Достаточность. Пусть z→z
lim |f (z)| = ∞. Тогда f (z) 6= 0 в некоторой окрестности
0
1
U(z0 ), причем в Ǔ(z0 ) f (z) - аналитическая. В этом случае для g(z) = f (z)
lim g(z) =
z→z0
0, следовательно, z0 - устранимая особая точка функции g. Положив g(z0 ) = 0, полу-
чим, что z = z0 - изолированный нуль функции g(z). Пусть m - порядок этого нуля.
Тогда
g(z) = (z − z0 )m ϕ(z),
1
где ϕ - аналитическая в U(z0 ) ϕ(z0 ) 6= 0 в Ǔ(z0 ). В этом случае ϕ(z)
аналитична в
U(z0 ) и
∞
X
1 1
= c−m+k (z − z0 )k , c−m = 6= 0.
ϕ(z) k=0 ϕ(a)
Тогда
X∞
1 1
f (z) = · = ck (z − z0 )k , z ∈ Ǔ(z0 ).
(z − z0 )m ϕ(z) k=−m
Таким образом, z0 - полюс порядка m. ?
Пример. Пусть
Pn (z)
f (z) =
Qm (z)
и z1 , z2 , . . . , zp - корни уравнения Qm (z) = 0 (p ≤ m). Точка zi (1 ≤ i ≤ p) является
полюсом функции f того же порядка, какой имеет zi как нуль функции Qm .
5. Теоремы о существенно особых точках.
Исходя из теорем 2 и 4 можно получить следующую теорему.
Теорема 5. Пусть z0 - изолированная особая точка функции f . z0 - существенно
особая точка тогда и только тогда, когда z→z
lim |f (z)| не существует.
0
Теорема 6[Сохоцкого]. Пусть z0 - существенно особая точка функции f , A
- произвольная величина (конечная или равная бесконечности). Тогда существует
последовательность {zn } такая, что lim zn = z0 , lim f (zn ) = A.
n n
Д о к а з а т е л ь с т в о.
A=∞: существование последовательности {zn } такой, что lim
n
zn = z0 , lim
n
f (zn ) =
∞ очевидно, иначе |f (z)| был бы ограничен в U(z0 ), что противоречит тому, что z0 -
существенно особая точка.
A 6= ∞. Рассмотрим два случая.
38
