Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) В любой окрестности точки z
0
существуют точки z такие, что f(z) = A. Тогда
существуют точка z
1
такая, что |z
1
− z
0
| < 1, f(z
1
) = A, точка z
2
такая, что
|z
2
− z
0
| <
1
2
, f(z
2
) = A, . . . ,
существует точка z
n
такая, что |z
n
−z
0
| <
1
n
, f(z
n
) = A. Имеем последовательность
{z
n
} такую, что lim
n
z
n
= z
0
, f(z
n
) = A ∀n.
2) Существует окрестность U(z
0
) такая, что ∀z ∈ U(z
0
) f(z) 6= A. Рассмотрим
функцию g(z) =
1
f(z)−A
.
Точка z
0
не является устранимой особой точкой функции g, иначе |g(z)| был бы
ограничен в некоторой окрестности точки z
0
, следовательно, ограничен
|f(z)| = |A +
1
g(z)
|,
а значит z
0
была бы устранимой особой точкой функции f.
Точка z
0
не является полюсом функции g, иначе |(z −z
0
)
m
g(z)| был бы ограничен
в некоторой окрестности точки z
0
, следовательно, ограничен
|(z −z
0
)
m
f(z)| = |A(z −z
0
)
m
+
(z −z
0
)
m
g(z)
|,
а значит z
0
была полюсом функции f.
Таким образом, z
0
- существенно особая точка функции g. Тогда существует по-
следовательность {z
n
} такая, что lim
n
z
n
= z
0
, lim
n
g(z
n
) = ∞. Переходя к пределу
при n → ∞ в равенстве
f(z
n
) = A +
1
g(z
n
)
имеем: lim
n
f(z
n
) = A. ?
39
1) В любой окрестности точки z0 существуют точки z такие, что f (z) = A. Тогда
существуют точка z1 такая, что |z1 − z0 | < 1,           f (z1 ) = A, точка z2 такая, что

                                             1
                                 |z2 − z0 | < ,    f (z2 ) = A, . . . ,
                                             2

существует точка zn такая, что |zn − z0 | < n1 ,        f (zn ) = A. Имеем последовательность
{zn } такую, что lim zn = z0 ,     f (zn ) = A ∀n.
                   n
2) Существует окрестность U(z0 ) такая, что ∀ z ∈ U(z0 ) f (z) 6= A. Рассмотрим
                      1
функцию g(z) =    f (z)−A
                          .
   Точка z0 не является устранимой особой точкой функции g, иначе |g(z)| был бы
ограничен в некоторой окрестности точки z0 , следовательно, ограничен

                                                        1
                                      |f (z)| = |A +        |,
                                                       g(z)

а значит z0 была бы устранимой особой точкой функции f .
   Точка z0 не является полюсом функции g, иначе |(z − z0 )m g(z)| был бы ограничен
в некоторой окрестности точки z0 , следовательно, ограничен

                                                                 (z − z0 )m
                        |(z − z0 )m f (z)| = |A(z − z0 )m +                 |,
                                                                    g(z)

а значит z0 была полюсом функции f .
   Таким образом, z0 - существенно особая точка функции g. Тогда существует по-
следовательность {zn } такая, что lim zn = z0 ,            lim g(zn ) = ∞. Переходя к пределу
                                          n                 n
при n → ∞ в равенстве
                                                         1
                                       f (zn ) = A +
                                                       g(zn )
имеем: lim f (zn ) = A. ?
         n




                                                  39

Страницы