Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3) z
0
- существенно особая точка, если разложение в ряд Лорана содержит бесконеч-
ное число отрицательных степеней, то есть
f(z) =
+∞
X
k=−∞
c
k
(z − z
0
)
k
.
3. Теоремы об устранимых особых точках.
Теорема 1. Если в некоторой окрестности точки z
0
|f(z)| - ограничен, то z
0
- либо устранимая особая точка, либо точка аналитичности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
ϕ(z) =
(z − z
0
)
2
f(z), если z ∈
ˇ
U(z
0
),
0, если z = z
0
.
Тогда
lim
z→z
0
ϕ(z)ϕ − ϕ(z
0
)
z − z
0
= lim
z→z
0
(z − z
0
)f(z) = 0.
Следовательно, существует ϕ
0
(z
0
) = 0 . Таким образом, функция ϕ(z) аналитическая
в U(z
0
), поэтому
ϕ(z) = ϕ(z
0
)+ϕ
0
(z
0
)(z −z
0
)+
ϕ
00
(z
0
)
2
(z −z
0
)
2
+. . . =
∞
X
k=2
ϕ
(k)
(z
0
)
k!
(z −z
0
)
k
= (z −z
0
)
2
f(z).
Следовательно,
(∗) f(z) =
ϕ00(z
0
)
2!
+
ϕ000(z
0
)
3!
(z − z
0
) + . . . =
∞
X
k=0
ϕ
(k+2)
(z
0
)
(k + 2)!
(z − z
0
)
k
.
Таким образом, в проколотой окрестности
ˇ
U(z
0
) f(z) представима рядом Лорана,
который не содержит главной части. Возможно два варианта:
1) f(z
0
) =
ϕ00(z
0
)
2!
. Тогда (*) - разложение функции в ряд Тейлора, следовательно, f
аналитична в точке z
0
.
2)f(z
0
) 6=
ϕ00(z
0
)
2!
. Тогда z
0
- устранимая особая точка.
(Заметим, что f может и не быть определена в точке z
0
. ?
Теорема 2. Пусть z
0
- изолированная особая точка функции f. z
0
- устранимая
особая точка тогда и только тогда, когда существует конечный lim
z→z
0
f(z).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если z
0
- устранимая особая точка,
то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части,
следовательно, lim
z→z
0
f(z) = c
0
- конечен.
36
3) z0 - существенно особая точка, если разложение в ряд Лорана содержит бесконеч-
ное число отрицательных степеней, то есть
                                                           +∞
                                                           X
                                                 f (z) =          ck (z − z0 )k .
                                                           k=−∞



      3. Теоремы об устранимых особых точках.

      Теорема 1. Если в некоторой окрестности точки z0                                 |f (z)| - ограничен, то z0
- либо устранимая особая точка, либо точка аналитичности.
      Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию
                                                
                                                
                                                 (z − z0 )2 f (z), если z ∈ Ǔ(z0 ),
                                      ϕ(z) =
                                                
                                                 0,                   если z = z0 .

Тогда
                                             ϕ(z)ϕ − ϕ(z0 )
                                      lim                   = lim (z − z0 )f (z) = 0.
                                      z→z0       z − z0       z→z0

Следовательно, существует ϕ0 (z0 ) = 0. Таким образом, функция ϕ(z) аналитическая
в U(z0 ), поэтому
                                                            ∞
                            0  ϕ00 (z0 )         2
                                                           X   ϕ(k) (z0 )
ϕ(z) = ϕ(z0 )+ϕ (z0 )(z −z0 )+           (z −z0 ) +. . . =                (z −z0 )k = (z −z0 )2 f (z).
                                   2                       k=2    k!

Следовательно,
                                                                          ∞
                                  ϕ00(z0 ) ϕ000(z0 )                     X   ϕ(k+2) (z0 )
(∗)              f (z) =                  +          (z − z0 ) + . . . =                  (z − z0 )k .
                                    2!        3!                         k=0  (k +  2)!

Таким образом, в проколотой окрестности Ǔ(z0 ) f (z) представима рядом Лорана,
который не содержит главной части. Возможно два варианта:
                 ϕ00(z0 )
1) f (z0 ) =        2!
                          .      Тогда (*) - разложение функции в ряд Тейлора, следовательно, f
аналитична в точке z0 .
               ϕ00(z0 )
2)f (z0 ) 6=      2!
                        .       Тогда z0 - устранимая особая точка.
      (Заметим, что f может и не быть определена в точке z0 . ?

      Теорема 2. Пусть z0 - изолированная особая точка функции f . z0 - устранимая
особая точка тогда и только тогда, когда существует конечный lim f (z).
                                                                                              z→z0
      Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если z0 - устранимая особая точка,
то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки не содержит главной части,
следовательно, z→z
                lim f (z) = c0 - конечен.
                                  0



                                                              36

Страницы