Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Так как при любом k функции f
k
(z) аналитичны в D, то по интегральной формуле
Коши
R
γ
f
k
(z)dz = 0. Следовательно,
R
γ
S(z)dz = 0. Так как S(z) непрерывна, то по
теореме Мореры S(z) аналитична в D.
(2). Ряд S(t) =
∞
P
k=0
f
k
(t) сходится равномерно на ∂D
∗
. Умножим обе части на
n!
2πi
·
1
(t −z)
n+1
(t ∈ ∂D
∗
, z ∈ D).
Равномерная сходимость при этом не нарушается, следовательно, ряд можно почлен-
но интегрировать:
∞
X
k=0
n!
2πi
Z
∂D
∗
f
k
(t)
(t −z)
n+1
dt =
n!
2πi
Z
∂D
∗
S(t)
(t −z)
n+1
dt.
Функции f
k
(t), S(t) - аналитичны в D
∗
и непрерывны в D
∗
. Тогда по формуле
Коши для производных
∞
X
k=0
f
(n)
k
= S
(n+1)
(z).
?
5. Степенные ряды. Степенным рядом будем называть формальную сумму
(∗)
∞
X
k=0
a
k
(z − z
0
)
k
.
Функции f
k
(z) = a
k
(z − z
0
)
k
аналитичны в C. Пусть l = lim
k
k
q
|a
k
|.
Если 0 < l < ∞, то ряд (*) сходится абсолютно в круге |z − z
0
| <
1
l
и расходится
на множестве |z − z
0
| >
1
l
;
если l = 0, то ряд (*) сходится абсолютно во всей комплексной плоскости;
если l = ∞, то ряд (*) сходится только в точке z = z
0
.
Величина R =
1
l
называется радиусом сходимости степенного ряда (*).
Примеры: (1).
∞
P
k=0
z
k
, a
k
= 1, l = 1, R = 1. Ряд сходится в круге |z| < 1 и расходится
на множестве |z| > 1. При этом
∞
P
k=0
z
k
=
1
1−z
.
(2).
∞
P
k=0
z
2
k
= z+z
2
+z
4
+z
8
+z
16
+. . . =
∞
P
m=0
a
m
z
m
, где a
m
=
1, если m = 2
k
,
0, если m 6= 2
k
.
В этом случае R = 1.
(3). Ряд
∞
P
k=0
z
k
k!
сходится в C.
29
      Так как при любом k функции fk (z) аналитичны в D, то по интегральной формуле
         R                                                  R
Коши         fk (z)dz = 0. Следовательно,                        S(z)dz = 0. Так как S(z) непрерывна, то по
         γ                                                  γ
теореме Мореры S(z) аналитична в D.
                                 ∞
                                 P
      (2). Ряд S(t) =                fk (t) сходится равномерно на ∂D∗ . Умножим обе части на
                             k=0

                                          n!      1
                                             ·                       (t ∈ ∂D∗ , z ∈ D).
                                         2πi (t − z)n+1

Равномерная сходимость при этом не нарушается, следовательно, ряд можно почлен-
но интегрировать:
                                 ∞
                                 X n! Z               fk (t)         n! Z    S(t)
                                                           n+1
                                                               dt =                  dt.
                                 k=0   2πi         (t − z)          2πi ∗ (t − z)n+1
                                             ∂D∗                              ∂D


      Функции fk (t), S(t) - аналитичны в D∗ и непрерывны в D∗ . Тогда по формуле
Коши для производных
                                                     ∞
                                                     X (n)
                                                           fk     = S (n+1) (z).
                                                     k=0
?

      5. Степенные ряды. Степенным рядом будем называть формальную сумму
                                                       ∞
                                                       X
(∗)                                                             ak (z − z0 )k .
                                                       k=0
                                                                                                 q
Функции fk (z) = ak (z − z0 )k аналитичны в C. Пусть l = lim k |ak |.
                                                                                             k
                                                                                                       1
      Если 0 < l < ∞, то ряд (*) сходится абсолютно в круге |z − z0 | <                                l
                                                                                                           и расходится
на множестве |z − z0 | > 1l ;
      если l = 0, то ряд (*) сходится абсолютно во всей комплексной плоскости;
      если l = ∞, то ряд (*) сходится только в точке z = z0 .
                             1
      Величина R =           l
                                 называется радиусом сходимости степенного ряда (*).
                        ∞
                        P
Примеры: (1).                z k , ak = 1, l = 1, R = 1. Ряд сходится в круге |z| < 1 и расходится
                       k=0
                                                                        ∞
                                                                        P             1
                на множестве |z| > 1. При этом                                zk =   1−z
                                                                                         .
                                                                        k=0                          
                       ∞                                                       ∞
                                                                                                     
                                                                                                      1, если m = 2k ,
                       P         k                                             P
                (2).         z 2 = z+z 2 +z 4 +z 8 +z 16 +. . . =                   am z m , где am = 
                       k=0                                                    m=0                      0, если m 6= 2k .
                  В этом случае R = 1.
                                  ∞ k
                                  P
                (3). Ряд            z
                                    k!
                                       сходится в           C.
                                 k=0



                                                                   29

Страницы