Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Отметим для начала, что
R
C
r
dt
t−z
dt = 2πı. Кроме этого, в силу непрерывности f(t)
в z ∈ D
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀t ∈ D (|t − z| < δ ⇒ |f(t) −f(z)| < ε). (∗)
Пусть ε > 0 – произвольно. Можно считать, что r изначально выбрано так, что r < δ,
где δ из (*). В этом случае max
t∈C
r
|f(t) − f(z)| < ε.
Тогда
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2πı
Z
C
r
f(t)
t − z
dt − f(z)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2πı
Z
C
r
f(t)
t − z
dt − f(z) ·
1
2πı
Z
C
r
dt
t − z
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1
2πı
Z
C
r
f(t) − f(z)
t − z
dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
≤
1
2π
max
t∈C
r
¯
¯
¯
¯
¯
f(t) − f(z)
t − z
¯
¯
¯
¯
¯
· 2πr = max
t∈C
r
|f(t) − f(z)| < ε.
?
2. Теорема о среднем. Пусть D =
n
z ∈ C : |z −z
0
| < R
o
– внутренность
круга с центром в точке z
0
и радиусом R. Функция f(z) аналитична в D и непре-
рывна в D. Тогда
f(z
0
) =
1
2πR
Z
C
R
f(z
0
+ Re
ı θ
)ds.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, для t ∈ C
R
t −z
0
= Re
ı θ
, 0 ≤ θ < 2π. Тогда
f(z
0
) =
1
2πı
Z
C
R
f(t)
t − z
0
dt =
1
2πı
2π
Z
0
f(t)
Re
ı θ
Re
ı θ
ı dθ =
1
2π
2π
Z
0
f(z
0
+ Re
ı θ
)dθ =
=
1
2πR
2π
Z
0
f(z
0
+ Re
ı θ
)Rdθ =
1
2πR
Z
C
R
f(z
0
+ Re
ı θ
)ds.
?
§11. ПРИНЦИП МАКСИМУМА МОДУЛЯ И ЛЕММА ШВАРЦА
1. Лемма. Пусть в некоторой области D задана аналитическая функция f и
выполняется одно из двух условий:
(1) Re(z) – постоянна в D,
(2) |f(z)| – постоянен в D.
Тогда функция f(z) в D.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если имеет место (1), то f(z) = u(x, y)+ı v(x, y), причем
∀x, y u(x, y) = u
0
. Тогда
∂u
∂x
=
∂u
∂y
= 0. По условиям Коши-Римана
∂v
∂x
=
∂v
∂y
= 0.
Следовательно, ∀x, y v(x, y) = v
0
, поэтому ∀z ∈ D f(z) = u
0
+ ı v
0
.
22
                                      R     dt
    Отметим для начала, что                t−z
                                               dt   = 2πı. Кроме этого, в силу непрерывности f (t)
                                      Cr
вz∈D
                ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀t ∈ D                    (|t − z| < δ ⇒ |f (t) − f (z)| < ε).                  (∗)

Пусть ε > 0 – произвольно. Можно считать, что r изначально выбрано так, что r < δ,
где δ из (*). В этом случае max |f (t) − f (z)| < ε.
                                 t∈Cr
    Тогда
¯                       ¯    ¯                                         ¯    ¯                       ¯
¯                       ¯    ¯                                         ¯    ¯                       ¯
¯ 1 Z f (t)             ¯    ¯ 1 Z f (t)                    1  Z       ¯
                                                                   dt ¯ ¯ 1 ¯    Z
                                                                                    f (t) − f (z) ¯¯
¯                       ¯    ¯
¯
¯ 2πı
             dt − f (z)¯¯ = ¯¯                dt − f (z) ·             ¯=¯                       dt¯¯ ≤
¯        t−z            ¯    ¯ 2πı t − z                   2πı t − z ¯¯ ¯¯ 2πı          t−z         ¯
      Cr                            Cr                        Cr                Cr
                                 ¯               ¯
                      1          ¯ f (t) − f (z) ¯
                                 ¯               ¯
                  ≤       max ¯                  ¯ · 2πr = max |f (t) − f (z)| < ε.
                     2π   t∈C  r ¯     t−z ¯               t∈Cr

?
                                                               n                        o
    2. Теорема о среднем. Пусть D = z ∈ C : |z − z0 | < R – внутренность
круга с центром в точке z0 и радиусом R. Функция f (z) аналитична в D и непре-
рывна в D. Тогда
                                                  1 Z
                                 f (z0 ) =            f (z0 + Reı θ )ds.
                                                 2πR
                                                        CR



    Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, для t ∈ CR                    t − z0 = Reı θ , 0 ≤ θ < 2π. Тогда
                                         2π                    2π
                      1 Z f (t)        1 Z f (t) ı θ         1 Z
           f (z0 ) =             dt =         ı θ
                                                  Re ı dθ =       f (z0 + Reı θ )dθ =
                     2πı  t − z0      2πı Re                2π
                       CR                           0                         0

                          2π
                       1 Z             ıθ       1 Z
                    =        f (z0 + Re )Rdθ =      f (z0 + Reı θ )ds.
                      2πR                      2πR
                             0                                      CR
?
    §11. ПРИНЦИП МАКСИМУМА МОДУЛЯ И ЛЕММА ШВАРЦА

    1. Лемма. Пусть в некоторой области D задана аналитическая функция f и
выполняется одно из двух условий:
    (1)     Re(z) – постоянна в D,
    (2)     |f (z)| – постоянен в D.
    Тогда функция f (z) в D.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Если имеет место (1), то f (z) = u(x, y)+ı v(x, y), причем
                                 ∂u         ∂u                                                 ∂v       ∂v
∀x, y     u(x, y) = u0 . Тогда   ∂x
                                       =    ∂y
                                                  = 0. По условиям Коши-Римана                 ∂x
                                                                                                    =   ∂y
                                                                                                             = 0.
Следовательно, ∀x, y        v(x, y) = v0 , поэтому ∀z ∈ D                f (z) = u0 + ı v0 .

                                                          22

Страницы