Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, вместо
R
γ
f(z)dz в этом случае можно писать
z
2
R
z
1
f(z)dz.
Если зафиксировать z
1
, а другой конец кривой менять, то получим функцию,
зависящую от z:
F (z) =
z
Z
z
1
f(z)dz.
Теорема. Если f(z) аналитична в односвязной области D, то F (z) – аналитиче-
ская в D функция, причем F
0
(z) = f(z).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
F (z + h) − F (z)
h
=
1
h
z+h
Z
z
1
f(ξ)dzξ −
z
Z
z
1
f(ξ)dξ
=
1
h
z+h
Z
z
fξ)ξ.
Кроме этого,
f(z) = f(z) ·
1
h
·
z+h
Z
z
dξ =
1
h
z+h
Z
z
f(z)dξ.
Тогда
F (z + h) − F (z)
h
− f(z) =
1
h
·
z+h
Z
z
f(ξ) − f(z)dξ.
Так как f(ξ) непрерывна в точке z, то
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀ξ ∈ D (|ξ − z| < δ ⇒ |f(ξ) − f (z)| < ε).
Предположим, что |h| < δ. Тогда |ξ −z| < |h| < δ ⇒ |f(ξ) − f(z)| < ε. В этом случае
¯
¯
¯
¯
¯
F (z + h) − F (z)
h
− f(z)
¯
¯
¯
¯
¯
< ε ·
|h|
|h|
= ε.
Таким образом,
lim
h→0
F (z + h) − F (z)
h
= f(z). ?
6. Будем называть первообразной f(z) любую функцию Φ(z), такую что Φ
0
(z) =
f(z) ∀z ∈ D. В частности, F(z) – первообразная f (z).
Теорема. Любая первообразная f(z) имеет вид:
Φ(z) = F (z) + C =
z
Z
z
1
f(ξ)dξ + C,
где C – произвольная постоянная.
20
                         R                                               Rz2
Таким образом, вместо        f (z)dz в этом случае можно писать                f (z)dz.
                         γ                                               z1
   Если зафиксировать z1 , а другой конец кривой менять, то получим функцию,
зависящую от z:
                                               Zz
                                     F (z) =        f (z)dz.
                                               z1

Теорема. Если f (z) аналитична в односвязной области D, то F (z) – аналитиче-
ская в D функция, причем F 0 (z) = f (z).
   Д о к а з а т е л ь с т в о.
                                     
                                   z+h
                                                                    
                                                Zz             z+h
             F (z + h) − F (z)   1Z                         1 Z
                               =      f (ξ)dzξ − f (ξ)dξ  =      f ξ)ξ.
                     h           h z            z
                                                             h z
                                         1                 1


Кроме этого,
                                           z+h       z+h
                                        1 Z        1 Z
                         f (z) = f (z) · ·    dξ =      f (z)dξ.
                                        h z        h z
Тогда
                                                  z+h
                    F (z + h) − F (z)          1 Z
                                      − f (z) = ·    f (ξ) − f (z)dξ.
                            h                  h z
Так как f (ξ) непрерывна в точке z, то

               ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀ξ ∈ D          (|ξ − z| < δ ⇒ |f (ξ) − f (z)| < ε).

Предположим, что |h| < δ. Тогда |ξ − z| < |h| < δ ⇒ |f (ξ) − f (z)| < ε. В этом случае
                         ¯                          ¯
                         ¯ F (z + h) − F (z)        ¯    |h|
                         ¯                          ¯
                         ¯
                         ¯
                                             − f (z)¯<ε·
                                                    ¯
                                                             = ε.
                                   h                     |h|
Таким образом,
                                 F (z + h) − F (z)
                             lim                   = f (z).          ?
                             h→0         h



   6. Будем называть первообразной f (z) любую функцию Φ(z), такую что Φ0 (z) =
f (z) ∀z ∈ D. В частности, F (z) – первообразная f (z).
Теорема. Любая первообразная f (z) имеет вид:
                                                     Zz
                             Φ(z) = F (z) + C =           f (ξ)dξ + C,
                                                     z1

где C – произвольная постоянная.

                                               20

Страницы