Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3. Замечание. Иногда нам будет удобно рассматривать следующую разновид-
ность определения интеграла. Предположим, что кусочно-гладкая кривая γ допус-
кает параметризацию γ : z = z(t), t ∈ [α, β]. Тогда z
0
(t) = x
0
(t) + ı y
0
(t) 6= 0. Для
кусочно-непрерывной функции f(z) f(z(t)) · z
0
(t) – комплексная функция действи-
тельного переменного. Проводя рассуждения, аналогичные построению интеграла
Римана в случае действительной функции действительного переменного, можно по-
лучить
β
R
α
f(z(t)) ·z
0
(t)dt. Будем считать в этом случае, что
Z
γ
f(z)dz =
β
Z
α
f(z(t)) ·z
0
(t)dt.
§9. ТЕОРЕМА КОШИ
1. Теорема. Если f(z) аналитична в односвязной области D , то интеграл от
этой функции по любому замкнутому контуру γ, лежащему в D, равен нулю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство, считая f
0
(z) непрерывной.
I
γ
f(z)dz =
I
γ
udx − vdy + ı
I
γ
vdx + udy.
Для каждого из вещественных криволинейных интегралов справедлива формула
Грина, поэтому
I
γ
f(z)dz =
Z Z
Ω
Ã
∂u
∂y
+
∂v
∂x
!
dxdy + ı
Z Z
Ω
Ã
∂v
∂y
−
∂u
∂x
!
dxdy
(здесь Ω – часть комплексной плоскости, расположенной внутри γ). Тогда в силу
условий Коши-Римана
H
γ
f(z)dz = 0. ?
2. Имеет место и другой вариант теоремы Коши, который здесь мы приведем без
доказательства.
Теорема. Если f(z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в ее замы-
кании D , то интеграл, взятый по границе ∂D этой области, равен нулю.
3. Если формулировать теорему Коши для многосвязной области по аналогии
с п.1, то она не будет справедливой. Действительно, пусть D – круговое кольцо:
r
1
< |z − z
0
| < r
2
. В качестве замкнутого контура возьмем окружность γ : |z − z
0
| =
R, (r
1
< R < r
2
).
18
   3. Замечание. Иногда нам будет удобно рассматривать следующую разновид-
ность определения интеграла. Предположим, что кусочно-гладкая кривая γ допус-
кает параметризацию γ : z = z(t), t ∈ [α, β]. Тогда z 0 (t) = x0 (t) + ı y 0 (t) 6= 0. Для
кусочно-непрерывной функции f (z) f (z(t)) · z 0 (t) – комплексная функция действи-
тельного переменного. Проводя рассуждения, аналогичные построению интеграла
Римана в случае действительной функции действительного переменного, можно по-
         Rβ
лучить        f (z(t)) · z 0 (t)dt. Будем считать в этом случае, что
         α

                                       Z               Zβ
                                           f (z)dz =        f (z(t)) · z 0 (t)dt.
                                       γ               α




                                           §9. ТЕОРЕМА КОШИ

   1. Теорема. Если f (z) аналитична в односвязной области D, то интеграл от
этой функции по любому замкнутому контуру γ, лежащему в D, равен нулю.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство, считая f 0 (z) непрерывной.
                            I                   I                      I
                                    f (z)dz =       udx − vdy + ı          vdx + udy.
                            γ                   γ                      γ

Для каждого из вещественных криволинейных интегралов справедлива формула
Грина, поэтому
                  I                 Z Z Ã         !          Z Z Ã       !
                                            ∂u ∂v                  ∂v ∂u
                      f (z)dz =               +     dxdy + ı         −     dxdy
                  γ
                                            ∂y ∂x                  ∂y ∂x
                                      Ω                                    Ω

(здесь Ω – часть комплексной плоскости, расположенной внутри γ). Тогда в силу
                                H
условий Коши-Римана                 f (z)dz = 0. ?
                                γ

   2. Имеет место и другой вариант теоремы Коши, который здесь мы приведем без
доказательства.
Теорема. Если f (z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в ее замы-
кании D , то интеграл, взятый по границе ∂D этой области, равен нулю.

   3. Если формулировать теорему Коши для многосвязной области по аналогии
с п.1, то она не будет справедливой. Действительно, пусть D – круговое кольцо:
r1 < |z − z0 | < r2 . В качестве замкнутого контура возьмем окружность γ : |z − z0 | =
R, (r1 < R < r2 ).

                                                           18

Страницы