Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7. Обратные тригонометрические функции
Функции w = Arcsinz, w = Arccosz, w = Arctgz и w = Arcctgz определяются
как функции, обратные к соответствующим тригонометрическим функциям. Все эти
функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую функ-
цию:
Arcsinz = −ı Ln(ız +
√
1 − z
2
); Arccosz = −ı Ln(z +
√
z
2
− 1);
Arctgz = −
ı
2
· Ln
1 + ız
1 − ız
; Arcctgz = −
ı
2
· Ln
z + ı
z − ı
.
Главные значения обратных тригонометрических функций arcsin z, arccos z,
arctg z, arcctg z получаются, если взять главные значения соответствующих лога-
рифмических функций.
§8. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
И ЕГО СВОЙСТВА
1. Пусть задана некоторая фиксированная кусочно-гладкая кривая γ ⊂ C и на
этой кривой определена кусочно -непрерывная функция комплексного переменного
f(z) = u(x, y) + ı v(x, y).
Рассмотрим разбиение γ : a = z
0
< z
1
< ··· < z
n
= b, внутри дуги z
k
z
k+1
выберем
промежуточные точки ξ
k
и рассмотрим суммы S
n
=
n
P
k=1
f(ξ
k
)(z
k
− z
k−1
).
Интегралом от функции f(z) вдоль кривой γ называется lim
n
S
n
, в предположении
max
k
|z
k
− z
k−1
| → 0 (n → ∞).
Замечание. В наших предположениях относительно функции f (z) и кривой γ
интеграл существует.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f(z) = u(x, y)+ı v(x, y), z
k
= x
k
+ı y
k
, x
k
−x
k−1
=
4x
k
, y
k
− y
k−1
= 4y
k
, ξ
k
= α
k
+ ı β
k
. Тогда
S
n
=
n
X
k=1
n³
u(α
k
, β
k
) + ı v(α
k
, β
k
)
´
(4x
k
+ ı 4y
k
)
o
=
=
n
X
k=1
n
u(α
k
, β
k
)4x
k
− v(α
k
, β
k
)4y
k
o
+ ı
n
X
k=1
n
u(α
k
, β
k
)4y
k
+ v(α
k
, β
k
)4x
k
o
.
16
   7. Обратные тригонометрические функции

   Функции w = Arcsinz, w = Arccosz, w = Arctgz и w = Arcctgz определяются
как функции, обратные к соответствующим тригонометрическим функциям. Все эти
функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую функ-
цию:
                                               √                                              √
                      Arcsinz = −ı Ln(ız +         1 − z 2 );       Arccosz = −ı Ln(z +           z 2 − 1);
                                      ı     1 + ız                             ı     z+ı
                            Arctgz = − · Ln        ;                Arcctgz = − · Ln     .
                                      2     1 − ız                             2     z−ı
   Главные значения обратных тригонометрических функций arcsin z,                                              arccos z,
arctg z, arcctg z получаются, если взять главные значения соответствующих лога-
рифмических функций.



 §8. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
                                             И ЕГО СВОЙСТВА

   1. Пусть задана некоторая фиксированная кусочно-гладкая кривая γ ⊂ C и на
этой кривой определена кусочно -непрерывная функция комплексного переменного

                                             f (z) = u(x, y) + ı v(x, y).

Рассмотрим разбиение γ : a = z0 < z1 < · · · < zn = b, внутри дуги zk zk+1 выберем
                                                                               n
                                                                               P
промежуточные точки ξk и рассмотрим суммы Sn =                                       f (ξk )(zk − zk−1 ).
                                                                               k=1



   Интегралом от функции f (z) вдоль кривой γ называется lim
                                                           n
                                                             Sn , в предположении
   max |zk − zk−1 | → 0 (n → ∞).
        k
   Замечание. В наших предположениях относительно функции f (z) и кривой γ
интеграл существует.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (z) = u(x, y)+ı v(x, y),                        zk = xk +ı yk ,       xk −xk−1 =
4xk ,       yk − yk−1 = 4yk ,            ξk = αk + ı βk . Тогда
                                   n n³
                                   X                                       ´                 o
                            Sn =           u(αk , βk ) + ı v(αk , βk ) (4xk + ı 4yk ) =
                                   k=1

                n n
                X                                          o         n n
                                                                     X                                          o
            =         u(αk , βk )4xk − v(αk , βk )4yk + ı                  u(αk , βk )4yk + v(αk , βk )4xk .
                k=1                                                  k=1



                                                               16

Страницы