Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

причем для производной берется та же ветвь, что и для функции.
3. Показательная функция w = e
z
Показательную функцию определим следующим соотношением:
w = e
z
= e
x+ı y
= e
x
· (cos y + ı sin y).
Функция является аналитической в C. Действительно,
∂u
∂x
=
∂(e
x
· cos y)
∂x
= e
x
· cos y;
∂v
∂y
=
∂(e
x
· sin y)
∂y
= e
x
· cos y ⇒
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −e
x
· sin y;
∂v
∂x
= e
x
· sin y ⇒
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
,
следовательно, выполнены условия Коши - Римана. При этом
dw
dz
= e
z
, ∀z ∈ C.
Показательная функция обладает следующими свойствами:
а) e
z
1
+z
2
= e
z
1
· e
z
2
, ∀z
1
, z
2
∈ C;
б) e
z+2πkı
= e
z
, ∀k ∈ Z, то есть показательная функция является периодической с
основным периодом 2πı.
Областью однолистности функции w = e
z
является любая горизонтальная по-
лоса ширины, не превосходящей 2π. Всю комплексную плоскость можно разбить
на бесконечное число областей однолистности. В качестве такого разбиения можно
взять,например, множества
S
k
=
n
z ∈ C
¯
¯
¯2πk ≤ Im z ≤ 2π(k + 1), k ∈ N
o
(без учета границ). Каждая такая полоса отображается показательной функцией на
плоскость с разрезом по положительной действительной полуоси. Таким образом, мы
имеем бесконечное количество полос, каждая из которых отображается в плоскость
с разрезом. После склейки берегов получаем риманову поверхность, заполненную
значениями показательной функции.
4. Логарифмическая функция w = Ln z
Функция w = Ln z, где z 6= 0 , определяется формулой
Lnz = ln |z| + ı Argz = ln |z| + ı (arg z + 2πk), k ∈ Z. (2)
14
причем для производной берется та же ветвь, что и для функции.

    3. Показательная функция w = ez

    Показательную функцию определим следующим соотношением:

                               w = ez = ex+ı y = ex · (cos y + ı sin y).

    Функция является аналитической в C. Действительно,
        ∂u   ∂(ex · cos y)               ∂v   ∂(ex · sin y)                ∂u   ∂v
           =               = ex · cos y;    =               = ex · cos y ⇒    =    ,
        ∂x       ∂x                      ∂y       ∂y                       ∂x   ∂y
                  ∂u                ∂v                ∂u   ∂v
                     = −ex · sin y;    = ex · sin y ⇒    =− ,
                  ∂y                ∂x                ∂y   ∂x
следовательно, выполнены условия Коши - Римана. При этом
                                            dw
                                               = ez ,    ∀z ∈ C.
                                            dz
Показательная функция обладает следующими свойствами:
а) ez1 +z2 = ez1 · ez2 ,    ∀z1 , z2 ∈ C;
б) ez+2πkı = ez ,     ∀k ∈ Z, то есть показательная функция является периодической с
основным периодом 2πı.
    Областью однолистности функции w = ez является любая горизонтальная по-
лоса ширины, не превосходящей 2π. Всю комплексную плоскость можно разбить
на бесконечное число областей однолистности. В качестве такого разбиения можно
взять,например, множества
                                n       ¯                                   o
                           Sk = z ∈ C ¯¯ 2πk ≤ Im z ≤ 2π(k + 1), k ∈ N

(без учета границ). Каждая такая полоса отображается показательной функцией на
плоскость с разрезом по положительной действительной полуоси. Таким образом, мы
имеем бесконечное количество полос, каждая из которых отображается в плоскость
с разрезом. После склейки берегов получаем риманову поверхность, заполненную
значениями показательной функции.

    4. Логарифмическая функция w = Ln z

    Функция w = Ln z, где z 6= 0, определяется формулой

                    Lnz = ln |z| + ı Argz = ln |z| + ı (arg z + 2πk),      k ∈ Z.      (2)

                                                    14

Страницы