Элементы теории функций комплексного переменного. Турилова Е.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Представим z в тригонометрической форме: r = |z| =
√
1 + 3 = 2, arg z = π/3,
следовательно,
z = 2(cos π/3 + ı sin π/3.
Тогда
z
9
= 2
9
(cos 3π + ı sin 3π) = −512.
2. Пусть z
1
= 1 + 3ı, z
2
= 2 + ı. Требуется вычислить z
1
: z
2
.
z
1
z
2
=
1 + 3ı
2 + ı
=
(1 + 3ı)(2 − ı)
(2 + ı)(2 − ı)
=
2 + 6ı − ı + 3
4 − ı
2
=
5 + 5ı
5
= 1 + ı.
3. Пусть z = −1. Требуется вычислить
√
z.
Представим число z = −1 в тригонометрической форме: −1 = 1(cos π + ı sin π).
Тогда
w
k
=
√
z =
√
1
Ã
cos
π + 2πk
2
+ ı sin
π + 2πk
2
!
, 0 ≤ k ≤ 1,
то есть
w
0
=
√
1
µ
cos
π
2
+ ı sin
π
2
= ı, w
1
=
√
1
µ
cos
3π
2
+ ı sin
3π
2
= −ı.
Таким образом над полем комплексных чисел существует два квадратных корня из
числа −1 : ı и −ı.
§2. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ КАК МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Пусть C - комплексная плоскость. Определим функцию ρ :C→ R:
ρ(z
1
, z
2
) = |z
1
− z
2
| =
q
(x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
, ∀z
1
= x
1
+ ıy
1
, z
2
= x
2
+ ıy
2
.
Очевидно, что функция ρ, называемая метрикой в C, обладает ∀z
1
, z
2
, z
3
∈ C сле-
дующими свойствами:
1. ρ(z
1
, z
2
) ≥ 0, ρ(z
1
, z
2
) = 0 ⇔ z
1
= z
2
;
2.ρ(z
1
, z
2
) = ρ(z
2
, z
1
);
3.ρ(z
1
, z
2
) ≤ ρ(z
1
, z
3
) + ρ(z
3
, z
2
).
ε− окрестностью точки z
0
называется множество вида
B
ε
(z
0
) = {z ∈ C |ρ(z, z
0
) < ε }.
4
                                                                                √
     Представим z в тригонометрической форме: r = |z| =                             1 + 3 = 2, arg z = π/3,
  следовательно,
                                             z = 2(cos π/3 + ı sin π/3.

  Тогда
                                        z 9 = 29 (cos 3π + ı sin 3π) = −512.

     2. Пусть z1 = 1 + 3ı, z2 = 2 + ı. Требуется вычислить z1 : z2 .

             z1   1 + 3ı   (1 + 3ı)(2 − ı)   2 + 6ı − ı + 3   5 + 5ı
                =        =                 =          2
                                                            =        = 1 + ı.
             z2    2+ı      (2 + ı)(2 − ı)       4−ı            5
                                             √
     3. Пусть z = −1. Требуется вычислить z.
     Представим число z = −1 в тригонометрической форме: −1 = 1(cos π + ı sin π).
  Тогда                                  Ã                                !
                           √        √         π + 2πk         π + 2πk
                 wk =          z=       1 cos         + ı sin         ,               0 ≤ k ≤ 1,
                                                 2               2
  то есть
                      √ µ   π        π
                                       ¶          √ µ    3π         3π
                                                                       ¶
               w0 =    1 cos + ı sin     = ı, w1 = 1 cos    + ı sin      = −ı.
                            2        2                    2          2
  Таким образом над полем комплексных чисел существует два квадратных корня из
  числа −1 : ı и −ı.



§2. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ КАК МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО



     Пусть C - комплексная плоскость. Определим функцию ρ :C→ R:
                                    q
     ρ(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | =         (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ,     ∀z1 = x1 + ıy1 , z2 = x2 + ıy2 .

  Очевидно, что функция ρ, называемая метрикой в C, обладает ∀ z1 , z2 , z3 ∈ C сле-
  дующими свойствами:
     1. ρ(z1 , z2 ) ≥ 0,       ρ(z1 , z2 ) = 0 ⇔ z1 = z2 ;
     2.ρ(z1 , z2 ) = ρ(z2 , z1 );
     3.ρ(z1 , z2 ) ≤ ρ(z1 , z3 ) + ρ(z3 , z2 ).



     ε− окрестностью точки z0 называется множество вида

                                         Bε (z0 ) = {z ∈ C | ρ(z, z0 ) < ε }.

                                                          4

Страницы