Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 102 стр.

                                                            
                                      j 2                   
                                ( n)   m  ,k                
                               z >                          
                
                                 k     4β n                  
                                                            
                 (n ) β k                  2           2        m +1
                 zk <        2 β k + 4β k + 1/ 4 − m   βr = r +      .
                        β n                                      2
                                                            
                 j2 
                 m,k        (   2
                                     )
                            2 m −1 + j     2
                                           m  ,k
                                                 
                                                        −5
                                                             
                                                             
                 4β 1+                          + O( n ) 
                   n            48βn2                   
                                                         

                                                    ∞
Согласно (2.4.1), система функций dn { }n=0  (m)


                       dn( ) = λ me−λ /2 L(n ) ( λ 2 )
                          m          2     m
                                                                             (2.4.2)
представлена собственными функциями интегрального оператора Фурье-
Бесселя. Эта система функций ортогональна на [0, ∞) [Янке и др., 1968], причем
               ∞ m − z ( m)       ( m)            Γ ( m + 1) C n ,     m = n,
               ∫ z e  L     ( z )L     ( z ) dz =  
                                                                n+m
                       n          k
               0                                   0,           m ≠ n.
Согласно [Сегё, 1962, стр.116, теорема 5.7.1], она (при m > -1) замкнута в
                                     { }   m
L2(0, ∞). Эти свойства системы dn( ) позволяют любую функцию из L2(0, ∞)
приблизить в метрике этого пространства с любой точностью:
                                  ( )                       ( )
                                   ∞        m
                          X λ 2 = ∑ α n d n( ) λ 2 ,              (2.4.3)
                                  n=1
где коэффициенты Фурье равны скалярному произведению функции X(λ2) на
d n( )
    m

                                         ∞
                                    0
                                                            ( )
                      α n = X , d n = ∫ X (λ 2 )d n λ 2 d λ 2 .              (2.4.4)
                              ∞
Система функций        { } m
                        dn( )
                              n=1
                                  приводится к ортонормированной системе
    m ∞
{ }
 dn( )
       n=1
           , если положить:
                                               m
                                            dn( )
                                   dn = m               .
                                       d n( ) 
                                               L2 0,∞     
                                                           

В геоэлектрике чаще всего m = 0 или m = 1, поэтому далее будем полагать, что
                                                                m
величина m равна именно этим значениям. В этом случае d n( ) = n + 1 ,
следовательно


                                              102