Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 104 стр.

Таким образом, если известны коэффициенты Фурье α n разложения в ряд
(2.4.3) функции X ( λ 2 ) , то преобразование Фурье-Бесселя f ( r 2 ) этой функции
можно записать в виде ряда:

                  ( )
         F (r ) = f r2 =
                          1 ∞
                         n + 1 n=1
                                        n          2 (m)
                                ∑ ( −1 ) α n r me−r /2 Ln r 2 .  ( ) (2.4.7)

Аналитические решения осесимметричных задач геоэлектрики выражаются
через интегралы, содержащие функции Бесселя J0(λr) и J1(λr). Им
соответствуют собственные функции
              0 
                  ( )         ( )                 ( ) ( )      0
                                                                         ( )
                                                             
                    2       2     − λ 2 /2
            d n λ ≡ dn λ = e
               
                                           Ln λ , Ln λ ≡ Ln  λ 2 ,
                                                2        2

                              d n ( λ 2 ) = λ e−λ /2 L(n ) ( λ 2 )
                               
                               
                               
                                 1 
                                   
                                   
                                                 2     m

с собственными числами νn = (-1)n .
                                                                        0
                                                                        
                     ( m) 2                                      2
      В функциях d n (λ ) присутствует множитель exp(−λ / 2) = d   (λ ) ,
                                                                       0
который при вычислении коэффициентов Фурье обеспечивает достаточно
быстрое убывание подынтегральной функции. Однако при больших значениях
индекса n многочлен Лагерра имеет осцилляции, затрудняющие вычисление
интегралов. Поэтому алгоритм будет давать лучшие результаты, если ряд
(2.4.3) достаточно быстро сходится.
        Замечание.    В    результате    вычисления      интеграла   получаем
функциональный ряд, коэффициенты Фурье которого зависят от
геометрических и электромагнитных параметров модели. Эти коэффициенты
умножаются на собственные функции, зависящие только от величины r
(разноса). Такое «разделение переменных» по одним и тем же коэффициентам
позволяет:
    • вычислять интеграл для всех требуемых разносов,
    • находить    производные     по    пространственным      переменным    в
      аналитическом виде, что бывает необходимым при вычислении различных
      компонент электромагнитного поля.
       Подынтегральные функции X ( z, λ ) , Z ( z, λ ) не относятся к классу
интегрируемых с квадратом функций, поэтому для применения рассмотренного
здесь подхода нужно их модифицировать. С этой целью рассмотрим функции
вида
         X a z, λ = X z, λ − X (0) z, λ , Z a z, λ = Z z, λ − Z (0) z, λ ,
              (   )       (    )        (    )     (    )    (       )    (    )

в которых X (0) и Z (0)   соответствуют X и Z для однородного проводящего
полупространства (z ≥ 0). Легко показать, что X a , Z a ∈ L2 (0, ∞) .
     Аналогичному      преобразованию      следует     подвергнуть    все
подынтегральные функции. В результате этой операции применение
рассмотренного в настоящем параграфе подхода к вычислению несобственных
интегралов, содержащих функции Бесселя, будет математически оправданным.
                                             104