Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

103
()
(
)
/1,0,1
mm
dd nm
nn
=
+=
.
Образом ортонормированной системы
()
{
}
1
m
d
n
n
∞
=
тоже является
ортонормированная система
()
{
}
1
m
l
n
n
∞
=
, с помощью которой любую функцию
f(r
2
)∈L
2
(0, ∞) можно в свою очередь разложить в сходящийся в L
2
- норме ряд
()
22
() ()
1
m
f
rlr
nn
n
β
∞
=
∑
=
, (2.4.5)
где
()
)
()
)
2
2/22
/1.
mm
mr
lrre Lr n
nn
−
=
+
(2.4.6)
Приведем несколько графиков этих функций и оператор на языке
MathCAD для вычисления функций базиса (таблица 2.4.1).
Покажем, что коэффициенты разложений в ряд по системам {
()
(
)
2
m
n
d
λ
} и
{
()
(
)
2
m
lr
n
} соответственно функций X(
λ
2
) и f(r
2
) с точностью до знака равны.
Это утверждение следует из цепочки равенств
()
(
)
() ()
()
()
()
21
,H , ,H ,1 1.
m
m
nn
mmmm
Xd f r d f d f l
nn
nnnn
α
β






−
== = =−=−
В процессе преобразований учтено, что прямое
m
H
и обратное
1
m
H
−
преобразования Ханкеля совпадают и подынтегральные функции
удовлетворяют теореме Фубини. Итак, получаем:
(
)
()
(
)
)
()
(
)
()
()
()
()
()
222 2
11
22
1.
11
mm
fr l r H X H d
nn m m n n
nn
n
mm
Hd l r
nm n nn
nn
βλαλ
αλ α






∞
∞
=== =
∑∑
==
∞∞
==−
∑∑
=
=
Таблица 2.4.1
Оператор на языке MathCAD
Графики функций
0
() (,)ddn
n
λ
λ



≡
:
для n = 0, 1,2 (слева) и
n = 0, 4, 7 (справа). 
                                       m        m
                                   d n( ) = d n( ) / n + 1, m = 0,1 .
                                                                   m ∞
Образом        ортонормированной               системы         { }
                                                                dn( )
                                                                      n=1
                                                                              тоже   является
                                 m ∞
ортонормированная система ln( )        { }
                                      n=1
                                           , с помощью которой любую функцию
f(r2)∈L2(0, ∞) можно в свою очередь разложить в сходящийся в L2- норме ряд
                                              ∞
                                  f (r 2 ) = ∑ βnln(m) (r 2 ) ,        (2.4.5)
                                             n=1
где
                             m
                                       ( )      2   m
                                                                 ( )
                          ln( ) r 2 = r me−r /2 L(n ) r 2 / n + 1 .    (2.4.6)
          Приведем несколько графиков этих функций и оператор на языке
MathCAD для вычисления функций базиса (таблица 2.4.1).
       Покажем, что коэффициенты разложений в ряд по системам { d n( ) λ 2 } и
                                                                     m
                                                                                      ( )
     m
      ( )
{ ln( ) r 2 } соответственно функций X(λ2) и f(r2) с точностью до знака равны.
Это утверждение следует из цепочки равенств
             m
                             ( )
                               
                                      m
α n = X , dn( ) = Hm  f r 2  , dn( ) = f ,H−
                                               m
                                                1  d ( m )  = f , ( −1)n l ( m ) = ( −1)n β .
                                                   n                    n                n
В процессе преобразований учтено, что прямое H m и обратное H m−1
преобразования    Ханкеля          совпадают       и    подынтегральные       функции
удовлетворяют теореме Фубини. Итак, получаем:

             ( )                   ( )              ( )                       ( )
                 ∞       m                                ∞          m   
         f r 2 = ∑ β nln( ) r 2 = H m  X λ 2  = H m  ∑ α n dn( ) λ 2  =
                n=1                                      n=1           

                                          ( )                           ( )
                 ∞                m           ∞       n      m
               = ∑ α n H m  d n( ) λ 2  = ∑ ( −1 ) α nln( ) r 2 .
                n=1                       n=1
                                                                         Таблица 2.4.1


Оператор на языке MathCAD




      Графики функций
          0
           

       d n  (λ ) ≡ d (n, λ ) :
    для n = 0, 1,2 (слева) и
     n = 0, 4, 7 (справа).




                                                  103

Страницы